Zur Theorie der algebraiscTien Curven n"'' Ordnung: C. 19 



/3 < « -|- 1 Puncte normal gegen die C" liegen, so beträgt die Mannigfaltigkeit dieser g^^ _ „ 



«(« + 3) „ 

 genau -^ — ^ — ß = q. 



Auch können die durch weniger als « -j- 1 Puncte möglichen C" n i c h t noch irgend einen 

 weiteren Punct gemein haben, das heisst die Gruppen der 5f''^_a haben volle Beweglichkeit. 



Sei zweitens ß = a-\-l. Es wäre hier ungerechtfertigt zu behaupten, i könne 

 nicht kleiner als « sein, doch ist immerhin i-=tt-\-x(x>0) unzulässig. Denn auf C""^^ 

 erhielte man durch die übrigen C"'^ eine Schaar von 



a(« -\-x) — [x{n — tt — oj) -|- a -|- 1] 

 oder von 



(a — l){a-\-x) — [x(n — u — x — 1) -f- 1] 



Puncten, wo (der Subtrahend wegen n — ^> a-\-x jedenfalls grösser als 3 wäre. Und da 

 3 > « — 1 + 1 zufolge der Grösse von « unmöglich ist, hätte diese Schaar höchstens die 

 Mannigfaltigkeit 



(«-!)(« + 2) 

 2 ^• 



Mithin gingen durch die nx -f- ß Puncte, welche allen C""^^ gemein sind, höchstens 



(c-1)(k4.2) ^ 



(30 dieser Curven, und 5'„„_„_j hätte nicht die Beweglichkeit 



fyi fv I •\\ 



^ J^ ß — 1, noch weniger eine höhere, wie supponirt wurde. In unserem Falle könnte 



demnach i=za sein. 



Dann aber dürfen die C" ausser ihren « -|- 1 Grundpuncten im Reste Gj^ keinen 



Punct gemein haben, weil diese « -j- 1 Puncte als auf einer irreduciblen C" liegend nicht in 

 einer Geraden sind. Die ausgeschnittene Schaar hat nun thatsächlich volle Beweglichkeit, 



die nicht mehr als T*" « — 1, sondern genau so viel beträgt. 



Ausserdem ist hier i=:a — 1 möglich, ein kleineres i aber nicht. Die Zulässigkeit 

 von i=:a — 1 bedingt offenbar, dass die C"~ keine Puncte im Reste G'^ haben, da sonst ihre 



Mannigfaltigkeit unter J" — « — 1 sinken würde ; d. h. die g'^^ _ „ bestände aus 



m(« — 1) voll beweglichen Schnittpunkten der C"~ mit C^ nebst n — ß festen willkür- 

 lichen Puncten. 



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