2kr Theorie der algebraischen Curven re'"'' Ordnung: 0". 21 



Aufgabe. Auf einer irreduciblen C" ist die Maximalzahl x von 

 Puncten zu finden, die als Basis G^ a) einer zweifachen, h) einer drei- 

 fachen Mannigfaltigkeit von C" zu Grunde liegen. 



a) Die von den (T aus C" geschnittene Schaar soll also die Beweglichkeit 1 haben 

 und eine möglichst kleine Gruppenzahl aufweisen. Folglich ist sie g'^_^\ demnach x:=.v}—n + 1. 

 Der Excess der Gruppe G^ für ihre oo'^iT" ist 



a 



= 2-{^í^-.^+«-l} = J!L^iH^=llI + l. 



l) Die ausgeschnittene Schaar muss g^^ sein, mithin xizn^ — >i, und da g''^^ von 

 den Geraden der Ebene bestimmt wird, wird <?^a_„ auch auf (7"~^ liegen; ihr Excess 



r.= 3-|^ 



+ 3) , , ] (m_2)(« — 3) 



IV. 



1. Primitiv anormale Gruppen G''^. 



Als wesentliche Eigenschaft für eine G^^ fanden wir (I): 



Unter ihren Q Puncten können höchstens Q — g angegeben werden, derart, dass sie 

 eine noimale G^^_^ liefern, und stets so viele. Sobald diese G'-^_^ mit ihren Q — g Puncten 

 a fixirt wird, hat man alle Q in zwei Abtheilungen, bestehend aus diesen et, nebst g' Puncten 

 6 vor sich, und es muss jede durch die a legbare (T auch die h aufnehmen. We- 

 niger als Q — Í Puncte a kann es auch nicht geben, für welche diese Eigenschaft der (T 

 bestände, weil sonst die vorgelegte G^^ einen q übersteigenden Excess hätte. 



Ferner kann man durch Hinzufügen eines h zu G^°^_^ der Reihe nach die Untergruppen 

 G'qLj^i, ö'QLja_2i ^%Z^ aufstellen. Ausgeschlossen ist G^q1^\ denn deren Existenz würde 

 für G'^^ mindestens den Excess ^-j- 1 bedingen. 



Dagegen wäre die Untergruppe G^^_^ immerhin denkbar, nämlich dann, und nur 

 dann, wenn die durch ír^L^. möglichen C" keinen der x fehlenden Puncte gemein haben. 

 Im ersten Falle erhält man durch Zufügen der x offenbar (x^\ käme aber unter den x ein 

 allen (T gemeinsamer Punct c vor, so ergäbe dieser mit G''^_^ zusammengenommen G''^^_^^^ 

 die unmöglich ist. 



Man sieht, dass die Möglichkeit der Untergruppe G''^_^ erheischt, dass in G^^ 

 Q — x — 2 + 1 Puncte angebbar sein müssen, welche gegen ihre C" anormal liegen. Wenn 



