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daher j e Q — 2 Puncte der G^^ noiiaal sind, so kann die Untergruppe nicht existiren (und 

 umgekehrt). Trifft dies zu, so heisst G^^ primitiv. 



Betrachten wir special] (7^^^ Entweder sie hat selbst primitiven Charakter, 

 oder sie umfasst eine primitive Untergruppe G^^ : Gesetzt G'-^ enthalte 

 die G^l^. 



Wäre die gefundene G'-^_^ nicht primitiv, so müsste sie die Untergruppe G*-^^ von we- 

 niger als Q — £c Puncten umfassen, und man begreift sofort, dass man auf diese Weise nothwendig 

 zu einer primitiven G^^^ (Qi < Q) gelangen muss, weil anormale Gruppen von beliebig kleiner 

 Punctzahl unmöglich sind. 



Da jede (r^*^ eine anormale ö'^' enthält, und diese stets eine primi- 

 tive 6ř^\ so tritt die G''^ auch in G^^ auf. 



2. Es sollen auf einerirreduciblenC^ die kleinsten Gruppen gefunden 

 werden, welche bezüglich der Curven CT (m'^n) anormal liegen! 



Zunächst bemerke man, dass die mn Schnittpuncte von C" mit einer C" eine anormale Gruppe 

 für CT sind, deren Excess unabhängig vom m ist: 



(»Ž — » + !) (m— n-\-2) 

 2 



Denn durch dieselben gehen 00 C"; und man hat: 



(ot — w -f 1) (m — » -f 2) _ m{m -\ - 3) (w — 2)(w— 1) 



2 ~ 2 *"'^ "^ 2 ' 



d. h. den Excess: 



(n— 2)(n — 1) 



Die gesuchte Minimalgruppe kann offenbar keinen gi-össeren Excess als 1 haben, da 

 G^^ immer eine G^^ Qi <; Q einschliesst, ferner muss sie primitiv sein, weil sie sonst eine 

 primitive kleinere Gruppe enthielte. Der vollständige Schnitt von C[, CT ist gewiss nicht die 

 kleinste Gruppe, da ^^ -^ > 1. Wäre daher Q^ das gesuchte Minimum, so müssten 



die durch G'-^ gehenden CT aus C^ eine Specialschaar schneiden. 



Durch eine Gruppe dieser Schaar geht somit eine Curve C^"^, so dass diese Gruppe 

 höchstens n{n — 3) Puncte entlialten kann, folgUch kann Q, nicht kleiner als (m + 3 — n)n 

 werden. 



Zugleich erhellt, dass G^^^ der Schnitt von C" mit einer (7™+*-" ist. Wird dies an- 

 genommen, so muss Gq^ anormal bezüglich CT sein, da durch die weiteren Schnittpuncte der 



