2íur Theorie der algébrai^ehen Ourven n " Ordnung : C. 23 



durch Gq^ gelegten C"" eine C"~^ geht ; und es muss Gq zufolge unserer Erörterung eine primi- 

 tive G^^^ sein. Hieraus kann man einen bekannten Satz schliessen. Wird statt CT die Curve 

 <r'+"~' gedacht, so folgt: Die mn Schnittpuncte der C", mit C" bilden für (7"'+"-' 

 eine primitive G'^^. Für Curven von höherer als der m-\-n — 3'™ Ordnung sind diese 

 mn Puncte normal, weil durch den ferneren Schnitt von mehr als n(n — 3) Puncten auf C" 

 eine C^"^ nicht möglich ist. 



„Die gesuchten Minimalgruppen sind somit das Schnittpunctsystem 

 der Curven (7"+^~" auf C". Dieser Satz gilt für jede irreducible C", auch wenn 

 w-<4, also (T~^ nicht mehr existirt. 



Denn wenn « = 3, so folgt er für die 3m Schnittpuncte der CJ mit C^ sogleich daraus, 

 dass Cl das Geschlecht 1 hat. Auf C^^ sind 2m-\~l oder weniger Puncte normal für C™; 

 die Minimalgruppe hat 2m -f- 2 r= (m -j- 3 — 2) .2 Puncte, auf einer Geraden bilden m-\-2 

 = (m -(- 3 — 1) . 1 Puncte das Minimum. 



Zerfallt aber (7^ in die irreduciblen Theile C"', C"' oc, so besteht folgender Satz: 



3. Die kleinste primitive Gruppe für C"', welche auf C" möglich ist, 

 wenn an sie die Bedingung gestellt wird, dass sie auf keiner Curve von 

 niedriger Ordnung als der n^" liegen soll, kann nie weniger als (m — n-\-3')n 

 Puncte haben. 



Beweis. G'-^^ bezeichne diese Gruppe, C" einen der irreduciblen Theile von C"; 

 dann muss C gewisse x Gruppenpuncte enthalten, weil andernfalls die G^ auf die ergän- 

 zende C""" fiele. Nun müsste jede durch x—1 dieser Puncte gehende C™"^"""^ den 

 ie'°° Punct aufnehmen, woraus hervorgeht, dass x wenigstens r= (m — n -j- v + 3 — v) v 

 =z{m — n-\-3)v sein muss. 



Mithin ergibt sich als ein Minimum für die auf allen C" vertheilten Gruppenpuncte: 

 Qj^^2{vi — n-{-3)v = (m — n-\-3)2:v = (m — n-\~S)n. 



Ob durch diese (m — n-{- 3)n Puncte eine (7™-"+= geht, werden wir später entscheiden. 



Es ist insbesondere für die Theorie der Raumcurven von Wichtigkeit an d e r B e- 

 dingung festzuhalten, dass durch die primitive Gruppe für (7™, um deren 

 Minimalwerth Q^ es sich handelt, eineC' (i<n) nicht möglich sei. Für eine 

 solche G^)^ findet der Satz statt: 



Lässt sich durch Q^— ^^^~J ' Puncte der Gruppe G'-^''^ eine C' + i-* 

 (i<.h) legen, so muss diese Curve die ganze Gruppe aufnehmen. 



