24 -7. Prof. K. Küpper. 



Beweis. Vor allem ist einzusehen, dass in G^^ immer ^-"^^ Puncte vorkommen, 



welche für Cf normal sind, wofern z<w, durch welche demnach eine (7 bestimmt ist: Man 



wähle unter den Qj irgend welche Gruppe (Cr), die normal für Cf ist, und weil die durch (ß) 



legbaren Cf nicht alle Q^ enthalten, so kann man eine neue Gruppe {Gť) bilden, welche einen 



Punct mehr hat, als {G\ dabei wieder normal für C" sein wird. Indem man nun von ((?') 



ausgeht, bilde man ((?"), die 2 Puncte mehr als {G) hat, u. s. w. bis man zur Gruppenzahl 



iii -4- 3) 



T^ fortgeschritten ist. Alsdann wird durch diese normale Gruppe eine einzige C, gehen, 



und es werden in (r^^^ stets noch Puncte ausserhalb (f, vorkommen. Man habe in dieser 



Weise für C"~^ die bestimmenden -x-i{i-{-V\ — 1 Puncte«. in G^^ ermittelt, h sei ein nicht 



auf (y'~^ liegender Punct; geht dann durch die nicht benannten fehlenden "^ Puncte 



eine (7'"+^~'^ welche sonach zusammen mit Cf~^ eine C ausmacht, so muss diese auch h 

 aufnehmen. Aber man kann jedem der a. die Rolle des h zuweisen, wenn 6 mit den fehlenden 



a zur Bestimmung einer C"~^ genommen wird, die nicht durch a^ gehen kann, weil sie sonst 

 mit Cf~^ identisch wäre, was nicht angeht, weil h nicht auf Cf~^ liegt. Also folgt, dass die 

 gedachte (7™^'^~"' ebenso wie durch h auch durch sämmtliche a geht; w. z. b. w. 



Folgerung. Wir haben bewiesen, dass die kleinste Punctzahl für G'-^ gleich 

 {m — n-{- 3)m ist, wenn sie auf C' ^ ^^ nicht vorkommen kann, aberaufeinerC" wirklich 

 liegt, einerlei ob C" irreducibel ist, oder nicht. Im irreduciblen Falle zeigte sich, dass ö^' 

 von einer Curve C""""""*"^ aus Cfl geschnitten wird, daher entsteht die Frage, gilt noch das 

 Gleiche, wenn C" zerfällt? Die Antwort ist bejahend, sofern man eine Grössenbeziehung 

 zwischen m, n festsetzt, die sich bei der Irreducibilität der C[ hier von selbst versteht, 

 nämlich sofern: 



m — ii -[- 3 ^ 71 oder m ^ 2n — 3. (I) 



Was jene Selbstverständlichkeit betrifft, so würde m — n-\-^<in zur Folge haben, 

 dass G''q auf einer Curve niederer Ordnung als der 9i*°° läge, was der fundamentalen Voraus- 

 setzung widerspricht. 



Mit Hülfe unseres Satzes, unter Berücksichtigung von (I) folgt leicht, dass durch 



6?« eine (7™-"+' gelegt werden kann: 



Durch eine kleine Rechnung erhält man die Differenz: 



2 ^(m — M-(-3)n- 



(^^_^ + 3)(m-7z + 6) i,^ ^ , ,,„^ {n-2){n- \) 

 in der Form 



J = h {{2n — m) (2m — m — 9) + 20}. 



