6 SU TALUNE SUPERFICI CONNESSE 



In quanto alla terza, essa, scambiando il senso positivo degli assi, 

 può mettersi sotto la forma : 



1 te u sin u cos u /» te cos- u 



/* kr u sin u cos u i* A- 



, </ « + I — = 



V 1 — te sin 2 « t/ V 1 — 



te sin- i< 



ed introducendo le funzioni ellittiche di parametro - , similmente a 

 quanto fecesi nel § 1 della nostra nota citata , si ha, adoperando i ri- 

 sultati quivi ottenuti: 



(9) z = — are cos dn - cn t -f C^tl _ 2 — \ - + ^-Z(-) 



dove K ed H sono gì' integrali elittici di prima e di seconda specie; 

 Z {-) la nota funzione di Iacobi, e * il modulo. 



Essa unita alle (8) completa il sistema delle coordinate richieste , e 

 mostra che la curva meridiana della evolvente determinata TUvaespres- 

 - sa, similmente a quella della prima falda della evoluta, mediante fun- 

 zioni ellittiche. 



L'elemento lineare della superficie W in quistione è dato da 



(10) d s- = d u 2 -f- te ir sin 2 u d v* 



4. Ci proponghiamo adesso di determinare 1' elemento lineare della 

 superficie complementare della S, rispetto al sistema di geodetiche meri- 

 diani (g), cioè della 2 a falda dell'evoluta già determinata. 



Consideriamo che tale elemento è in generale espresso da : 



J r 2 - >\ 



(11) d s 2 2 = d ?v + e dv- 



ma stante la (4) si ha 



d r 2 = — cotg' u d u 

 e quindi 



J r 2 - r i 



sin - u 



e la (11) diviene 



(12) d *v = cotsr 5 u d u- + . „ d v- 



sin- u 



