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4 SU CERTE RAPPRESENTAZIONI A LINEE ISOPERIMETRE DATE 



Supponiamo adesso di avere scelto le formule di corrispondenza del 

 tipo seguente : 



l u' = '</ (u) + e 



essendo ■} e 7 arbitrarie. 



Le (5) permettono di far corrispondere le linee coordinate ortogonali 

 prescelte sulla 8 a quelle prescelte sulla <$'; e, soddisfacendo alla 



(6) F, = 



permettono di tenere le linee coordinate della 8 come direzioni princi- 

 pali nella rappresentazione della detta 8 sulla S'. 



Le (5) inoltre , per 1' arbitrarietà delle funzioni | e 7 , permettono di 

 sottoporre la rappresentazione a qualche condizione, quale, ad esempio, 

 la isoperimetria lungo linee prescelte, ciò che ci proponiamo di studiare 

 in taluni casi, che possono riuscire utili alla Geodesia. 



2. Uno dei casi più semplici è il seguente : 



Si supponga sulla superficie S e sulla 8' scelto a linee coordinate il 

 sistema delle geodetiche uscenti da un punto e delle loro traiettorie or- 

 togonali. Le geodetiche sulla S siano le v = cost; e sulla 8' le v' = eost. 



Nella ipotesi posta si ha, come è noto : 



(7) E = 1 , E' = 1 



Se si suppongono le (5) ridotte alla forma : 



t u = u -\- e 

 (8) '- _L ' 



in virtù dalla prima di esse, si avrà E i = 1, e quindi si saranno rese 

 isoperimetre le geodetiche uscenti dal punto origine, giacché sarà 



m u = m i = 1. 



Se la 8' è un piano, le geodetiche uscenti dal punto origine sulla S 

 saranno inoltre rappresentate da linee rette. 



3. In generale, serbando alle formule di corrispondenza la forma (5), 

 e supponendo che la # sia una superficie di rivoluzione riferita ai me- 

 ridiani ed ai paralleli e la 8' il piano cartesiano ortogonale, il problema 

 della isoperimetria sopra un sistema di linee della 8, dipende dalla : 



