-i CERTE RAPPRESENTAZIONI A LINEE [SOPER1METRE DATE 5 



dove EeG sono funzioni di m; , si riferisce alle linee in quistione; ed 



il 11 



il 2" termine del 1" membro può, nel caso attuale, tenersi eguale 



a (fc) 



La formula (10) permette, ponendo il 2° membro uguale ad una fun- 

 zione arbitraria ili t< , e facendo delle opportune ipotesi sulla stessa e 

 sopra una delle funzioni arbitrarie <K«) o x(v), di determinare dei sistemi 

 di curve della S, sopra cui avvenga la isoperimetria in speciali proiezioni. 



i >d ancora la (10) medesima permette, quando sia dato al —r- un va- 



il a 



lore relativo a curve noie, ed in base ad opportune ipotesi *, di de- 

 terminare per quadrature la u' («) e v' (u), e rendere quest'ultima fun- 

 zione di r , eliminando la u mediante la v = v(u), essendo questa la 

 equazione delle curve date. 



Fermandoci, sul momento, a studiare la isoperimetria sopra un sistema 

 di lossodromie o di geodetiche della *S (specializzandola come sfera ed 

 ellissoide^, la eliminazione accennata porta a delle complicazioni assai 

 gravi, specie per le geodetiche, per le quali le quadrature suindicate 

 hanno richiesto, in varie ipotesi proposteci per lo studio della 1 10), l'uso 

 delle funzioni ellittiche. 



E delle complicazioni pure gravi si avrebbero nella detta eliminazione, 

 e nella determinazione di u', mediante la (10), qualora la v si scegliesse 



a priori in modo che — 1 — non si riducesse ad una costante. 



a e 



Abbiamo quindi creduto opportuno, per giungere a formule più dirette 



e più facilmente calcolabili, evitare la detta eliminazione, ponendo : 



(11) »' = lev -+- e 



Volendo, allora, la isoperimetria lungo un sistema di lossodromie della S, 

 il cui elemento lineare sia dato sotto la forma 



(12) (/s- = dll* -f- /•'-' tic- 



Si avrà lungo le stesse : 



l.> — = 1/ — tff 



du V G & 



de ,fE , Jc_ 



r 



' Si potrebbe, p. e., porre 



il it v (/ u d a 



