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Oryctog^nosie* — Müller, allgemeine Ableitung der 

 kfystalli me tri sehen Grundgleichungen. — Der Verf. hat sich die 

 Aufgabe gestellt die pyramidalen Gnindgestalten der einzelnen Krystallsysleme 

 aus einer gemeinächafllichen Grundform abzuleiten. Er betrachlel als solche 

 einen sechseckigen und von acht dreiseitigen Flächen eingeschlossenen Körper, 

 dessen gegenüberliegende Begrenzungsflächen einander parallel und congruent 

 sind, während die Verbindtingslinien der gegenüber stehenden Ecken, sowie die 

 Winkel unter denen diese einander in ihrem gemeinschaftlichen Halbirungspunkte 

 schneiden , beliebig gross und von einander unabhängig angenommen werden. 

 In Bezug auf dieses allgemeine Octaeder löst er im ersten Theile seiner Abhand- 

 lung die Aufgabe: „Aus den sechs gemessenen Octaederkeilen sowohl das Ver- 

 hälmiss der Halbaxen als auch die Grösse der drei Axenwinkel zu berechnen." 

 Er versteht hierbei unter dem Ausdrucke Oktaederkeile die an den Kanten an- 

 liegenden P'lächenwinkel ; und bezeichnet die paarweise einander gleichen Oklae- 

 derkanten, sowie die daranliegenden Oktaederkeile mit den Buchslaben: bj, bi, ci; 

 aa, b2, Ca, die Halbaxen dagegen mit: a, b, c: woraus sich deren Winkel als 

 Lbc, L ca , Lab ergeben. Die Entwicklung selbst geschieht ohne Hülfe von 

 Coordinaien auf elementarem Wege in der Art, dass zunächst das dem vorlie- 

 genden allgemeinen Octaeder zugehörige Tetraeder construirt, und die Beziehun- 

 gen zwischen den Flächen, Kanten und Keilen des Tetraeders und Octaeders an- 

 gegeben werden. Hiernach werden miltelst der L u. A Funktionen der Gonio- 

 metrie, von denen bekannt ist, dass in jedwedem Tetraeder der Quotient jeder 

 Tetraederfläche durch die A Funktion ihrer Gegenecke constant ist, aus den Kei- 

 len und Flachen des Tetraeders dessen Kanten bestimmt und die gefundenen 

 Resultate auf das Octaeder übertragen. Aus den gefundenen Formeln entnimmt 

 der Verf. den Lehrsatz : ,, Um das Quadrat einer Octaederkante zu finden, hat 

 man von den dieser Kante anliegenden Flächen, sowie von den ihr nicht anlie- 

 genden Flachen die Zwischenkeile zu nehmen, das Product der L Functionen der 

 beiden ersteren durch die der beiden letzteren zu dividiren und den Quotienten 

 mit dem Quadrate mn sin des der fraglichen Kante zugehörigen Octaederkeils 

 [undj der Octaederconslante zu multipliciren." Nachdem auf diese Weise die 

 Octaederkanten durch die Keile bestimmt sind, ist es leicht hieraus die Axen 

 und deren Winkel zu finden. Es ergeben sich nämlich 



4a2 =— a,2— a22+bi2-|-b22+Ci2-|-C22 



4b2r=+ai2-^a22— bi2— baä+ci^-J-ca^ 

 4c2 --f-aiä-f-aa^-j-bi^-f-ba^— ci2— 02^ 



— 31^ + 32=^ — bi2-4-b2=' ^ — C,2 + C22 



cos DO =: TT ; cos ca = ;:; ; cos ab = t-t 



4bc ' 4ac ' 4ab 



Nach Auffindung dieser allgemeinen Beziehungen zwischen Keilen, Kanten, Axen 

 und Axenwinkeln spricht der Verf. im zweiten Theile seiner Abhandlung die für 

 die Keile zu setzenden Bedingungen aus, unter denen die pyramidalen Grundge- 

 slalten der einzelnen Systeme resultiren. Sind zunächst je zwei Octaederkeile, 

 deren Kanten in einer und derselben Diagonalfläche liegen, einander gleich 



L ai =■ L 32 ; L bi = L b2 ; L ci = L C2 

 so stehen die Axen auf einander senkrecht und die Diagonalflächen sind Schrau- 

 ben. Es entsteht also eine Grundgestalt , welche immer noch das tesserale, te- 

 tragonale und rhombische System gleichzeitig in sich begreift. Ist ausserdem 

 1 ; L Bi = L bi = L ci 







2; 



Lai^ Lbj; 



Lbi = 



.Lc, 













3; 



Lai^ Lbi; 



Lbi< 



L ci; 



L 



c.$ 



L 



so 



werden auch 



beziehungsweise 

















1 



; a = b = 



: C 















2; 



; a<b; b 



= C 















3: 



; a^b; b 



§c; 



r < 



a 







