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Variabele so erhält man Gleichungen von der Form x=a, 

 y=b., z = Q,, welches die Gleichungen dreier Ebenen sind 

 von welchen die erste der coordinirten Ebene yz, die zweite 

 mit der xz und die dritte mit der xy parallel läuft und wel- 

 che Ebenen sich in dem Punkte m schneiden. 



Hieraus schon wird man ersehen, dass sich alle Auf- 

 gaben, welche in das Gebiet der Raumgeometrie gehören 

 nach diesen Principien aufgelöst werden können. 



Bei dieser Gelegenheit will ich noch eine Formel mit- 

 theilen , nach welcher man die Fläche eines beliebigen ebe- 

 nen Polygons aus seinen Polarcoordinaten findet. 



Lehrsatz. Man findet die Fläche eines beliebigen 

 ebenen Polygons aus den Polarcoordinaten seiner Eckpunkte, 

 wenn man je zwei aufeinander folgende Leitstrahlen mit 

 dem Sinus des dazwischen liegenden Winkels multiplicirt, 

 sämmtliche Produkte addirt, und die Summe durch Zwei 

 dividirt. 



Beweis. Erster Fall. Der Pol wird in irgendeinem 

 Eckpunkte angenommen, Fig. 8 und 4 Taf. IL 



Es sei ABCDE... das Polygon; q) , cp' , qi" etc. die 

 Winkel, welche die Leitstrahlen r, r', r" etc. mit der Achse 

 (welche bei praktischen Messungen entweder der astrono- 

 mische oder der magnetische Meridian sein wird) NS bil- 

 den; man fälle aus jedem Eckpunkte ein Perpendikel auf 

 den Radiusvector des zunächst folgenden Punktes , dann er- 

 hält man für diese folgende Gleichungen: h = r. sin (9)'— ^), 

 h' = r'. sin {(p"~ cp') , h" = r". sin (q)'" — y") etc. Bezeichnet 

 man die Flächeninhalte der Dreiecke ABC, ACD, ADE etc. 



r'h r"h' 



mit A, A', A" etc., so ist bekanntlich A =-y-, A'=-ö— , 



r'"h" 

 A" — — ^ — etc. wird substituirt und die Fläche des Poly- 



gons durch F bezeichnet so ist: 



F = 4 [rr'sm{cp'—q)) -^v'r"sm{q)"—q)') 4-r"r"'sin«'— ^")] 

 welche für 'das Fünfeck Fig. 3. Gültigkeit hat. Ganz ana- 

 log construirte Formeln erhält man für das Sechseck, Sie- 

 beneck , Achteck u. s. w. , man erhält folglich für die Flä- 

 che des n Ecks: 



