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lieh abhängig von dem geometrischen Verhältnis ihrer Schwin- 

 gungszahlen, oder ihrem Quotienten; in gleicherweise hängt 

 auch die Differenz der Logarithmen zweier Zahlen nur ab von 

 ihrem Quotienten, nicht von ihrer Differenz: die Differenzen 

 in der Tonhöhe d. h. die Intervalle zwischen mehreren Tönen 

 folgen also demselben Gesetze wie die Differenzen der Loga- 

 rithmen der Schwingungszahlen , man kann daher die letzteren 

 als Mass für die erstem betrachten ; statt der Differenzen der 

 Logarithmen kann man aber die Logarithmen derSchwin- 

 gungsverhältnisse nehmen und also schliesslich diese als 

 Mass der betreffenden Intervalle anwenden. 



Es versteht sich nun von selbst dass man zu diesem 

 Zwecke Logarithmen jedes beliebigen Systemes benutzen kann: 

 unterscheiden sich doch dieselben immer nur um constante 

 Factoren und sind also einander proportional; Euler hat da- 

 her , um für das Intervall der Octave das Mass 1 zu erhalten, 

 Logarithmen mit der Basis 2 angewendet. In diesem System 

 ist nämlich der Logarithmus von der Schwingungszahl der 

 Octave = log 2=1. Man erhält diese Logarithmen aus den 

 gewöhnlichen Briggischen durch Division mit log. vulg. 2^= 

 0,30103. Die Eu 1er 'sehen Logarithmen geben also die Grösse 

 der Intervalle in Theilen der Octave an ; in Folge dessen un- 

 terscheiden sich die Logarithmen aller Töne die gerade um 

 eine Octave von einander entfernt sind gerade um 1. Dadurch 

 erlangt man den Vortheil dass die Logarithmen aller glei- 

 chen Töne, mögen dieselben noch so viel Octaven auseinan- 

 der liegen, stets dieselben Mantissen (Decimalbruchstellen) 

 haben und sich nur in der Charakteristik unterscheiden, diese 

 letztern geben durch ihre Differenzen an wie viel Octaven da- 

 zwischen liegen. 



Hat man nun eine Tonreihe z. B.: 



CO, C\ C\ C\ C\ C- . . . . 

 mit den Schwingungszahlen: 



1, 2, 4, 8, 16, 32 ... . 

 oder: ' 20, 2\ 22, 23, 2^, 2^ . . . ., 

 so bilden die Schwingungszahlen eine geometrische Reihe und 

 ihre Exponenten oder Logarithmen für die Basis 2 bilden 

 eine arithmetische Reihe: 



0, 1, 2, 3, 4, 5 ... . 



