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Seiten so zusammen kleben dass die den einzelnen Tönen 

 entsprechenden Radien aufeinander fallen, und zwar der Grund- 

 ton eines jeden auf die Quinte des andern. Ueber die Be- 

 deutung der grossen und kleinen Buchstaben folgen weiter 

 unten die nähern Angaben. Fig. 2 stellt die sämmtlichen Töne 

 der Durtonleiter dar und zwar der äussere Ring die Töne 

 der natürlichen Durtonlefter , der innere aber die der pytha- 

 goreischen (siehe oben) ; ebenso Fig. 3 die Töne der Mollton- 

 leiter nach reiner und pythagoreischer Stimmung. 



Eine dritte Darstellung der Tonleiter findet Opelt in 

 der logarithmischen Curve; dieselbe erhält man indem 

 man auf einer nach den Logarithmen der Töne eingetheil- 

 ten Linie Lothe errichtet, die den Schwingungszahlen der 

 einzelnen Töne proportional sind; alle dadurch erhaltenen 

 Punkte liegen auf der Curve mit der Gleichung: 



X = logj y oder ^ = 2^ . 

 Die Ordinaten y sind also die Schwingungszahlen und die Ab- 

 scissen x ihre Logarithmen; für den GrundtOn ist die Ordi- 

 nate = 1, die Abscisse =0. Ich habe auf Taf. 1, Fig. 4 eine 

 solche Curve gezeichnet, habe aber nach Vorgang von Dro- 

 bisch (siehe unten) die Abscissenaxe um die Strecke 1 in 

 die Höhe geschoben, so dass alle Ordinaten um 1 verkürzt 

 sind; die Gleichung unserer Curve ist also: 



a; = logj iy-\-l) oder y = 2^ — 1. 

 Man kann diese Curve natürlich beiderseits ins Unendliche 

 fortsetzen, in den niedern Octaven wird dann die Steigung 

 immer geringer, in den höhern Octaven immer stärker; sie 

 nähert sich dabei unten immer mehr und mehr einer Horizon- 

 talen, die sie aber nie erreicht (in meiner Figur der Linie 

 y= — 1, nach der ursprünglichen Gleichungsform aber der 

 Abscissenaxe y = selbst), während sie oben ins unend- 

 liche ansteigt. 



In der Abscissenaxe unserer Fig. 4 sieht man übrigens 

 zugleich die Grösse der einzelnen Intervalle in linearer Dar- 

 stellung ; schneidet man die Figur aus und rollt sie zu einem 

 Cylinder zusammen, so bildet die Abscissenaxe einen Kreis, 

 der die Tonleiter in derselben Weise darstellt wie Fig. 2 und 

 3, während die logarithmische Curve sich in eine um den 

 Cylinder gewickelte Spirale verwandelt , die von Opelt unter 



