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liegt zu erklären (§ 22 ff.) ; in der Abhandl. vom J. 1852, 

 welche als sein Hauptwerk über das vorliegende Thema zu 

 betrachten ist, führt er aber die Logarithmen richtig auf 

 Euler zurück. In einem dritten Aufsatze: über die wissen- 

 schaftl. Bestimmung der musikalischen Temperatur 1854 {Pog- 

 gendorffs Annalen 90, 353) veröffentlicht er noch eine von R. 

 Baltzer in Dresden herrührende strengere Ableitung für 

 das logarithmische Mass der Intervalle, gegen welches inzwi- 

 schen einige Zweifel laut geworden waren. Dieselbe beruht 

 auf folgender Betrachtung; 



Wenn man 3 Töne a, ß, y hat, so wird das Intervall 

 zwischen den beiden ersten gemessen durch das geometrische 



ß 

 Verhältnis oder den Quotienten -, das Intervall zwischen den 



a 



y 

 beiden letzten durch 77 und endlich das Intervall zwischen 



ß 



y 

 dem ersten und letzten durch -. Nun ist bekanntlich das In- 



a 



tervall von « bis 7 gleich der Summe der Intervalle von a 



bis ß und von ß bis 7. Nehmen wir also f als Functionszei- 



chen für diejenige Function des Schwingungsverhältnisses 



welche das Mass des Intervalles ausdrückt, so muss 



sein und da 



ist, so folgt 



a \ß a 



Der Logarithmus genügt also der Functionalgleichung 

 und es lässt sich mathematisch beweisen, dass es die einzige 

 ihr genügende Function ist ; demnach ist der Logarithmus das 

 einzige richtige Mass für die Intervalle oder, wie man sich 

 nach D r ob i seh auch ausdrücken kann, für die „Empfindung 

 der Tonhöhen und ihrer Unterschiede." 



Es lässt sich hieran noch eine Bemerkung knüpfen über 

 die Bedeutung der Logarithmen im Allgemeinen. Fechner 

 hat nämlich in SQinei Psychophysik (1864) nachgewiesen, dass 



