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für die Empfindung der Tonhöhen-Uuterschiede d. h. der In- 

 tervalle aus. 



Es verdient übrigens bemerkt 55u werden, dass man auch 

 die allgemeine Massformel mit Hülfe des oben angegebenen 

 Baltzer'schen Beweises elementar aus dem Web er sehen Ge- 

 setze ableiten kann. 



Der Vollständigkeit wegen sei schliesslich bemerkt dass 

 auch E. Mach in der Zeitschrift für Mathematik und Physik von 

 Schlömilch, Kahl und Kantor (1865. S. 425) die ^iOgarith- 

 men mit der Basis 2 benutzt hat zu einer ansehet nlichen Dar- 

 stellung einiger Lehren der musikalischen Akustik — unter an- 

 dern zur Herstellung des Modells für die Obertöne, welches 

 den Lesern dieser Zeitschrift schon bekannt ist (cfr. Bd. XXXI, 

 S. 157). 



Classification der Töne und Entwickelung eines 

 allgemeinen Tonsystemes. 



Die in den Lehrbüchern der Physik u. s. w. angegebe- 

 nen Tonleitern enthalten je nach ihrer Vollständigkeit circa 

 20 — 40 Töne und obleich diese Zahlen schon ziemlich gross 

 sind, so werden wir doch sehen dass wir noch viel mehr Ton- 

 stufen unterscheiden müssen. Es erscheint daher von vorn- 

 herein wünschenswerth alle Töne der Tonleiter nach einem 

 bestimmten Principe anzuordnen und zu classificiren und ich 

 gehe zur Erklärung dieses Principes abermals zurück auf die 

 älteste der mir vorliegenden Quellen, auf Eulers tentamen 

 novae theoriae musicae. 



Daselbst heisst es (c. VII, § 4) dass zur Berechnung der 

 Logarithmen aller Töne der Tonleiter nur die Logarithmen der 

 Zahlen 1 — 8 für das System mit der Basis 2 umgerechnet zu 

 werden brauchten, die Logarithmen aller andern Töne ergeben 

 sich daraus, weil höhere Primzahlen z. B. 11, 13... in der 

 Tonleiter gar nicht vorkommen^ durch einfache Additionen und 

 Subtractionen. 



Die den Zahlen 1, 2, 4, 8 entsprechenden Töne sind 

 aber der Grundton und seine Octaven, diese haben die Lo- 

 garithmen 0, 1, 2, 3 und ihre Mantissen sind sämmtlich =0000't ; 

 ferner ist 



