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Theorie und Berechnung der Tonleiter. 



, Vom 



Gustav Schubring. 



(Schluss.) 



Berechnung des allgemeinen Tonsystemes. 



Das im vorigen Abschnitte entwickelte und durch die 

 Tabellen auf Seite 90 — 93 characterisirte ^^allgemeine Ton- 

 system" beruht auf der Formel 



es hat daher in diesem Systeme jeder Ton seine Quinte und 

 seine grosse Terz. Will man aber sämmtliche in der Musik 

 vorkommenden Töne erhalten, so muss man jedem Tone noch 

 seine Octave geben und man muss daher zurückgehen auf 

 die ursprüngliche vollständigere Formel von S. 87: 



Ql Qm y« 



Dieselbe liefert ein Tonsystem welches sich nicht nur nach 

 zwei, sondern nach drei Richtungen ausdehnt , und zwar so 

 weit als es die Grenzen der Hörbarkeit gestatten. Um das- 

 selbe mit den Tonleitern der physikalischen Lehrbücher und 

 der oben citirten akustischen Werke zu vergleichen, hat man 

 für /, m und w die betreffenden positiven und negativen Zahlen 

 (inclusive der Null) einzusetzen und die Schwingungszahlen 

 der einzelnen Töne numerisch auszurechnen. Wenn man nun 

 auch hierbei sich beschränkt auf Töne innerhalb einer Octave 

 — und es reicht diess ja vollkommen aus — so erhält man 

 doch selbstverständlich unendlich viele , oder besser beliebig 

 viele Töne. 



Die folgenden von mir berechneten Tabellen enthalten 

 nun eine grosse Anzahl von Tönen welche den Quintenreihen 

 mit den Grundtönen 1, Ji . . . J^ T— i . . . T— ^ angehören. 

 Die Berechnung geschah in folgender Weise: die Schwingungs- 

 zahlen der Grundtöne wurden in den aufsteigenden Quinten- 

 reihen wiederholt mit 3/2, in den absteigenden mit 2/3 multi- 

 plicirt, sobald sich aber dabei eine Schwingungszahl ergab 

 welche grösser war als 2, resp. kleiner 1, so wurde dieselbe 

 mit 2 dividirt resp. multiplicirt ; mit andern Worten: es wurden 



