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rechnnng^'- (Zeitschrift für Mathematik und Physik von Schi ö- 

 milch, KahlundCantorlHGBSupplernentheft S.105-U0J 

 habe ich diese Rechnungen weiter ausgedehnt*), und in dem 

 vorliegenden Aufsatze bin ich darin nocli weiter gegangen, 

 so dass man die Berechnungen der Tonverhältnisse wol nir- 

 gends vollständiger finden wird ; ein definitiver Abschluss ist 

 aber der Natur der Sache nach nicht möglich. 



Auch in Beziehung auf die einschlägige Litteratur war, 

 wie ich schon in der Einleitung sagte, Vollständigkeit nicht 

 zu erreichen, ich mussto mich bei der grossen Zahl von Bü- 

 chern und Aufsätzen die über die Berechnung der Tonver- 

 hältnisse geschrieben sind, auf die für meine Zwecke wich- 

 tigsten beschränken. Dabei sind mir aber leider drei Werke 

 entgangen, welche auf die von mir behandelten Fragen eben- 

 falls eingehen, und eigentlich auf S. 89—93 hätten mit be- 

 sprochen werden müssen; da ich sie aber erst nach dem 

 Drucke der ersten Abtheilung dieses Aufsatzes habe kennen 

 lernen , so erlaube ich mir an dieser Stelle noch einige Worte 

 über dieselben einzuschalten. 



Im Jahre 1858 hat C. E. Naumann in Leipzig eine 

 Dissertation herausgegeben ilher die verschiedeneu Bestimmun- 

 gen der Tonverhälinisse , er schliesst sich hauptsächlich an Dro- 

 bisch an und kämpft wie dieser für das pythagoreische oder 

 reine Quintensystem (s. S. 67 meines Aufsatzes). Diess be- 

 richtet auch Helmholtz (I. v. d. Tonempf. III. 16, 482). 

 Naumann unterzieht aber ausserdem noch das Haupt mann'- 

 sche Tonsystem , welches aus Quinten und Terzen zusammen- 

 gesetzt ist, einer genauem Prüfung, und er kommt dabei zu 

 demselben Resultat wie später Helmholtz; er findet näm- 

 lich dass die von Hauptmann vorgeschlagene Unterschei- 

 dung der durch Terzen und Quinten gefundenen Töne nicht 

 ausreicht, weil er die durch verschiedenartige Terzenvermitt- 

 lungen (durch auf- und absteigende, ein- und mehrfache Ter- 

 zen) gefundenen Töne, d. h. also die Töne der Reihen ip 1, 

 +2, nicht unterscheidet. Naumann führt daher zur ge- 

 nauem Unterscheidung dieser Töne besondere Zeichen (siehe 



*) In der diesem Aufsatz beigegebeneu Tafel habe ich mehrere 

 Tonleitern und Opelts Accordmesser (s. S. 428) in der oben erklärten 

 geradlinigen Darstellungsweise aufgezeichnet. 



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