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zum Tone Fis gehen, und ebenso 6 reine Quinten abwärts, 

 oder statt dessen 6 reine Quarten aufwärts bis zum Tone Ges, 

 und man glaubte dass dann diese beiden Töne einander gleich 

 sein würden, weil der durch Quinten entstandene Fehler und 

 der durch Quarten entstandene einander aufheben würden. 

 Solchen Unsinn hat Chladni noch in der musikalischen Zeit- 

 schrift Cäcilia wiederlegen müssen. 



Aus der oben angegebenen Art und Weise die zwölfstu- 

 fige gleichschwebend temperirte Tonleiter herzustellen ergibt 

 sich dass in ihr 12 Quinten genau gleich 7 Octaven sind, 

 also dass eine Quinte gleich "'/n Octave ist; in Folge dessen 

 beträgt der 



Logarithmus der temperirten Quinte 



7/,2 = 0,58333 



und dem entsprechend findet sich ihre 



relative Schwingungszahl 

 (12^2)^ = 2^'^ = 1,49831.... 



Zur Bestimmung der übrigen Töne in der Reihe C, G,Di; 



A^jE^ muss man den Logarithmus ''jvi der Reihe 



nach mit 2, 3 .... 12 multipliciren und die Schwingungs- 

 zahl der Reihe nach mit 2, 3 .... 12 potenziren, oder, was 

 auf dasselbe herauskommt, den Exponenten '?/i2 der Reihe 

 nach mit diesen Zahlen multipliciren. Dadurch erhält man 

 also für jene Tonreihe als Logarithmen und zugleich als Ex- 

 ponenten der Schwingungszahlen (beides ist ja auch begriff- 

 lich identisch) die Brüche "/n, ^*j\2, 21/12, '^^/n ^^/n. 



Wenn wir aber die Töne C, Gr, D, A, E alle in die Octave 

 von bis C^ verlegen, so nehmen wir statt jener unächten 



Brüche ihre Ueberschüsse über die ganzen Zahlen 1, 2 



Da nun 7 und 12 relative Primzahlen sind , so bilden die Zah- 

 len 7, 14, 21 .... 84 in Bezug auf den Modul 12 ein voll- 

 ständiges System incongruenter Zahlen, d. h. sie lassen bei 

 der Division durch 12 sämmtlich verschiedene Reste, nämlich 

 die Zahlen bis 11, resp. bis 12, wenn man die Octave mit 

 dazu nehmen will. Die Logarithmen der sämmtlichen Töne 

 in der gleichschwebend temperirten Octave sind also 

 °/i2 ; V12 ; V12 ; 12/^2 



oder 0; 0,0833..; 0,1666...; ... 1 



