461 



auf die ersten und letzten 8, doppelt auftreten. Dieser Terzen- 

 reihe zufolge kann man aus den n Tönen des Instrumentes 

 2h — 18 Dreiklänge bilden, nämlich n — 9 Duraccorde und 

 ebensoviel Mollaccorde; aus diesen Dreiklängen kann man 

 wiederum n — 11 Durtonleitern und n — 10 Molltonleitern 

 bilden, jedoch sind von diesen letzten nur n — 19 mit den 

 zufällig vorkommenden Tönen (der grossen Sexte und der 

 kleinen Septime) versehen. Von den Durtonleitern aber haben 

 nur n — 18 die gleichnamigen Molltonleitern und ebensoviele 

 die parallelen; beide, die gleichnamigen und die parallelen 

 Molltonleitern endlich sind nur vorhanden für n — 25 Dur- 

 tonleitern. 



In diese Formeln kann man selbstverständlich für n jede 

 beliebige Zahl einsetzen, nur muss dieselbe genügend gross 

 sein; zur Construction einer Molltonleiter z. B. gehört also 

 der Formel nach eine aus mindestens 17 Schritten bestehende 

 Quintenreihe, wenn auch nicht alle zwischen den äussersten 

 Enden liegende Töne gebraucht werden; in der That liegen 

 beispielsweise die beiden der a Molltonleiter angehörigen Töne : 

 Gji und C um 17 Quinten schritte auseinander. 



Setzt man nun n = 24, so erhält man die Zahl der Accorde 

 und Tonleitern welche auf dem ursprünglichen Helm holt z- 

 schen Instrument und dem einfachsten Appunn' sehen ent- 

 halten sind; welche Tonleitern diess sind, ist für das Helm- 

 holtz'sche Instrument schon oben angegeben (siehe S. 454); 

 für das kleinere Appunn 'sehe Instrument erhält man sie aus 

 den für das grössere Instrument angegebenen Reihen einfach 

 dadurch dass man jedesmal die ersten 12 Grundtöne einer 

 solchen Reihe weglässt. Die Reihe der 13 Durtonleitern auf 

 dem Appunn 'sehen Instrumente mit 24 Tönen beginnt dem- 

 nach nicht mit Gis = asDur sondern mit gis = As , ebenso 

 die Reihe der 8 Molltonleitern nicht mit ^ = ges sondern 

 mit fis = Ges u. s. w. Durtonleitern welche zugleich gleich- 

 namige und parallele Molltonleitern haben , existiren natürlich 

 nicht auf diesem kleinen Instrumente , denn zu einer solchen 

 Leiter gehört der Formel nach eine aus mindestens 26 Quin- 

 ten bestehende Reihe. Wenn man also auf diesem Instrumente 

 Musikstücke mit vielen Ausweichungen in verschiedenen Ton- 

 arten spielen will, so kann man unter Umständen in Verle- 



