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den Quinten angeordnet und die mehrfachen Bezeichnungen 

 welche sich durch diese Relationen ergeben, wenigstens so 

 weit es nöthig schien, zusaniinengestellt Daneben habe ich 

 auf S. 465 und 467 die Schwingungszahlen und Logarithmen 

 der sämmtlichen Töne angegeben ; die ersteren sind mit Hilfe 

 gemeiner Logarithmen berechnet, die E u 1 e r 'sehen Logarithmen 

 aber sind weiter nichts als die -Vielfachen vom Logarithmus 

 der Quinte resp. der Quarte, bei denen die Mantissen wie 

 immer weggelassen sind , um die Töne alle in eine Octave 

 zu verlegen. Da in diesem System die grossen Terzen ganz 

 rein sind, so werden die Grundtöne der einzelnen Quinten- 

 reihen: ^, Gis^ e, C, ö^, Fes durch jenen Quintenfehler nicht 

 beeinflusst, sie behalten vielmehr die oben für sie angegebenen 

 Schwingungszahlen und Logarithmen; sie sind in den folgenden 

 Tabellen sämmthch durch Sternchen kenntlich gemacht. 



Herr Appunn hat bis jetzt noch keine Beschreibung 

 seiner Harmoniums veröffentlicht, er hat mir aber die ge- 

 wünschten Angaben für meinen Aufsatz über die Berechnung 

 der Tonleiter (Zeitschrift für Mathematik und Physik 1868, 

 Supplementheft S. 124 — 129) freundlichst mitgetheilt, und ich 

 habe die dort gegebenen Berechnungen u. s.w. hier wiederholt, 

 weil die genannten Instrumente wie es scheint immer noch 

 nicht genug bekannt geworden und gewürdigt sind. 



Die Vortheile der natürlichen oder reinen Stimmung für 

 die Musik überhaupt , namentlich aber für die Begleitung des 

 Gesanges sind von Helmholtz {Lehre von den Tonempfin- 

 dungen ni, 16, 488 ff.) in überzeugender Weise dargelegt 

 worden, und die von Seiten der Musiker dagegen laut gewor- 

 denen Stimmen richteten sich so viel mir bekannt geworden 

 auch nicht gegen die reine Stimmung an sich, sondern gegen 

 die Un Vollkommenheiten des von Helmholtz beschriebenen 

 Instrumentes. Diese ünvollkommenheiten sind jetzt zum grössten 

 Theil beseitigt und es dürfte daher an der Zeit sein dass die 

 Musikinstitute, besonders die welche den Gesang und den Unter- 

 richt im Gesang pflegen, sich solche Instrumente anschafften. 



Die Instrumente können übrigens auch noch mit einem 

 Register in genauer gleichschwebend temperirter Stimmung 

 versehen werden. — Preiscourante sind von der Firma 

 Georg Appunn & Söhne in Hanau zu beziehen. 



