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und man könnte dieselben also enharmonisch leicht mit ein- 

 ander verwechseln. 



Durch diese Bemerkung wurde ich veranlasst, in meinem 

 oben citirten Aufsatz über die Berechnung der Tonleiter für die 

 Ausführung einer den natürlichen Verhältnissen möglichst nahe 

 kommenden Stimmung noch einen Vorschlag zu machen, dessen 

 Begründung im nächsten Abschnitte mitgetheilt werden soll. 



Die dreiundfünfzigstußge gleichschwebende Temperatur. 

 Es ist soeben gezeigt worden , dass man durch eine Reihe 

 von 53 Quinten mit dem oft erwähnten kleinen Fehler (7084: 7085) 

 zu einem Tone gelangt, der noch nicht um ein halbes synto- 

 nisches Komma niedriger ist als der Ausgangston, resp. 

 eine höhere Octave desselben. Nimmt man statt der zu kleinen 

 Quinten die richtigen, so kommt man etwas über den Aus- 

 gangston. Multiplicirt man nämlich den Logarithmus der 

 Quinte 0,5849625007 mit 53, so erhält man 31,003012537: 

 die 53. Quinte ist also etwas höher als die 31. Octave, aber 

 nur um ein sehr kleines Intervall, dessen Logarithmus in un- 

 serer Schreibweise 00301 beträgt. Soll nun die 53. Quinte 

 gerade übereinstimmen mit der 31. Octave, so muss man jede 

 Quinte um 1/53 jenes lutervalles zu klein machen und muss 

 ihr den Logarithmus 



31/53 = 0,58490566 .... 

 geben; die Logarithmen der andern Töne aber erhält man 

 hieraus durch Multiplication mit den Zahlen 2 bis 53. Denn 

 da die Zahlen 31 und 53 Primzahlen sind, so bilden die 

 ersten 53 Vielfachen von 31 in Bezug auf den Modul 53 ein 

 vollständiges System incongruenter Zahlen, d. h. sie lassen 

 bei der Division sämmtlich verschiedene Reste, nämlich die 

 Zahlen bis 52 oder, wenn man die Octave gleich noch hin- 

 zunehmen will, bis 53. Die Brüche 



() 31 fiC 93 1(543 



53' 53' 53^ 53 • • ■ ■ 53 



geben daher bei Abtrennung der Ganzen, allerdings in anderer 



Reihenfolge, die Reihe 



o i- 1 1 1 



^' 53' 53' 53 



■wobei die 1 als Logarithmus der Octave eine Wiederholung 

 des Grundtones ist, und nur des Abschlusses wegen hinzu- 

 geführt wurde. 



