492 



vorgekommen sein. Das Intervall 8:13, welches er mit dem 

 Grundtone C bildet, liefert dann auf die bekannte V/eise wie- 

 derum unendlich viele Töne deren Schwingungszahlen die Zahl 

 13 und höhere Potenzen derselben theils im Zähler theils im 

 Nenner enthalten z.B. ^3/12, 26/95, ^^/ss, ^^jn, ^^'^jvi^ u. s. w. ; 

 ferner zunächst 16/13 und im Anschluss daran z.B. ^5/13, ^t/jb^ 



1^13, ^^/52, 256/ie9 u. S. W. 



Durch Hinzufügung der folgenden Primzahlen 11, 19, 



23 erhält man ganz auf dieselbe Weise immer noch mehr 



neue Töne und Intervalle, es würde aber zu weit führen die 

 durch Combination dieser Zahlen entstehenden Intervalle noch 

 genauer zu untersuchen; höchstens könnte man noch die Töne 

 und Intervalle betrachten welche durch diese Zahlen direct 

 bestimmt werden. Wir wollen aber diese Frage gleich nach 

 einer andern Seite zu verallgemeinern^ wir wollen nämlich 

 statt der Primzahlen die ganze Reihe der natürlichen Zahlen 

 anwenden und die Frage zu lösen suchen: Wie verhält sich 

 der Gruudton 1 zu den Tönen welche die natürlichen Zah- 

 len 2, 3, 4, 5, 6, 7...m und deren umgekehrte Werthe 

 V2, Vs' ^ih Vs; Vö; V'^-'-V'n ZU Schwingungszahlen haben? 



» Von diesen Tönen werden zwar in der Musik nur die 

 wenigsten gebraucht, sie haben aber durch die Untersuchun- 

 gen von Helmholtz und V. Oettingen eine besondere Wich- 

 tigkeit gewonnen. Die erstgenannten Töne, also die Töne 

 deren Schwingungszahlen durch die Reihe der natürlichen 

 Zahlen dargestellt werden, begleiten nämlich stets bis zu einer 

 gewissen Höhe hinauf als harmonische Ober- oder Th eil- 

 töne den Klang des Grundtones 1; die andern, deren Schwin- 

 gungszahlen die Stammbrüche ^1%, ^/s, 1/4 •••Vw sind, enthalten 

 sämmtlich den Grundton 1 als 2ten, 3ten, 4ten . . . . wten Theil- 

 ton und werden daher auch als die harmonischen Un- 

 tertöne des Grundtones bezeichnet. 



Betrachten wir zunächst die zum Grundtone C=l ge- 

 hörigen Obertöne mit den Schwingungszahlen 2, 3, 4 



und ihre Verhältnisse zum Grundtone. In dieser Reihe sind 

 alle geradzahligen Töne selbstverständlich höhere Octaven 

 vom Grundtone und andern tiefern Partialtönen des ganzen 

 Klanges , es sind z. B, die Töne 



