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2, 4, 8, 2" 



sämmtlich Octaven vom Grundtoiie C=^l; 



(5, 12, 24 :5.2" 



sind die Octaven der Duodecime G^ = '.i] 



10, 20, 40 5.2« 



sind die Octaven des Tones e"^ = 5; 

 u. s. w. 



Zur Bestimmung der Intervalle welche ein Grundton 

 mit allen seinen Obertöuen bis zu einer gewissen Höhe hinauf 

 bildet, braucht man also eigentlich nur die ungeraden zu 

 betrachten, die geraden Obertöne wiederholen dieselben 



Intervalle in der Erweiterung um 1, 2, 3 n Octaven, ihre 



Logarithmen haben daher immer wieder dieselben Mantissen 

 und unterscheiden sich nur in der Characteristik, welche 

 0, 1, 2,... (n — 1) sein kann. Weil sich aber jedesmal zwischen 

 zwei Töne p und (p-\-l) der {x — l)ten Octave bei ihrer 

 Wiederholung in der a?ten Octave ein neuer Ton (2/; -|- 1) 

 einschiebt, so sind in jeder folgenden Octave stets noch ein- 

 mal so viel Obertöne vorhanden als in der vorigen. Die zu 

 irgend einer Octave gehörigen Obertöne enthalten also die 

 sämmtlichen in den frühern Octaven vorgekommenen Töne, 

 und man kann sich daher zur Bestimmung sämmtlicher Ober- 

 töne bis zum Tone C"=2" auch der in der Octave C" i bis 

 C» liegenden Obertöne 2" — i bis 2" bedienen; die Hälfte die- 

 ser Töne, nämlich alle geradzahligen, liegen auch in der Oc- 

 tave zwischen C" — 2 und C" - ^ und wiederum die Hälfte von 

 diesen in der Octave zwischen C"— 3 und C" - 2 u. s. w. 



Zur bessern Erläuterung dieser Verhältnisse habe ich 

 die Tabelle auf S. 496 entworfen; in derselben stehen unter 

 der Rubrik Obertöne die Logarithmen der Töne von 2^ bis 

 26, d. h. also der Töne von 32 bis 64, und daneben, wo es 

 möglich war, die musikalischen Notennamen. Bei den Loga- 

 rithmen müsste überall die Characteristik 5 und bei den No- 

 tennamen dieselbe Zahl als Exponent hinzugefügt werden; 

 ich habe sie aber weggelassen, damit die Angaben auch für 

 die den tiefern Octaven angehörigen Töne 1 bis 32 richtig 

 bleiben. Dieselben sind vor den Zahlen 32 bis 64 so ange- 

 ordnet, dass die in einer horizontalen Reihe stehenden Töne 

 stets Octaven zu einander sind, während die in einer verti- 



