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es möglich war, ist auch hier die musikalische Notenbezeich 

 nung hinzugefügt: man sieht dass diese Töne dieselben Num- 

 mern haben wie die mit Noten bezeichneten Obertöne, nur die 

 untere harmonische Septime (der siebente Unterton) hat keine 

 dem / entsprechende Bezeichnung. Dass alle Untertöne in 

 den tiefern Octaven immer wieder auftreten versteht sich von 

 selbst, und es sind daher auch hier die Logarithmen ohne 

 Charakteristik und die Noten ohne Exponenten geschrieben; 

 wenn man diese Zahlen mit hätte hineinschreiben wollen, so 

 hätte man ihnen das Minuszeichen geben müssen, z. B. 

 1/2 = C- 1; Logarithmus = 0,00000 1 = —1,00000 

 1/3 = F- 2; „ • = 0,41504 - 2 = —1,58496 



1/4 = C-2; ,, = 0,00000 — 2 = -2,00000 



1/5 = ^s-^] „ = 0,67807 — 3 = —2,32193 



Zur graphischen Darstellung der Untertöne kann man 

 dieselbe Linie benutzen auf der die Obertöue abgebildet wa- 

 ren, man hat nur nöthig die Figur so umzudrehen dass die 

 Marke Nf. 1 an das rechte Ende der Linie kommt. Setzt 

 man ausserdem statt der Zahlen 2,3,4... die Brüche 

 V'i) Vsi 'A-- so erhält man zugleich die Schwingungszahlen der 

 betreffenden Untertöne; combinirt man endlich diese Scala 

 mit einer gewöhnlichen Tonleiter, oder noch besser mit der 

 vorhin erwähnten Abbildung einer Claviatur, so kann man 

 die zu jedem Tone gehörigen Untertöne ablesen. An dem 

 Mach 'sehen Modell würde man diess durch Umkehrung der 

 Scala ohne weiteres erreichen. 



Beiläufig will ich noch bemerken dass man auch einen 

 „Untertöneapparat" construiren könnte, der besonders vom 

 Standpunkte des dualen Harmoniesystems von A. v, Oettin- 

 gen eine beaehtenswerthe Ergänzung des Appunn 'sehen,, Ober- 

 töneapparates" sein würde. A. v. Oettingen legt nämlich 

 der Musiktheorie ausser dem Princip der Tonalität noch 

 ein zweites, das der Phonalität zu Grunde, und zwar ver- 

 steht er unter Tonalität, wie Helmholtz, die Beziehung 

 zweier Töne auf einander insofern sie Obertöne eines gemein- 

 schaftlichen Grundtones sind; unter Phonalität aber die Be- 

 ziehung insofern sie einen gemeinschaftlichen Oberton haben. 

 Unter Benutzung dieser beiden Ausdrücke ergibt sich über 

 die harmonischen Ober- und Untertöne folgendes : 

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