DEI TRIANGOLI SFERICI 



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NOTA 



Qualora per oggetto d'istruzione vorrebbesi una dimostrazione del teorema del Le- 

 gendre diversa di quelle conosciute ed indipendente dal calcolo differenziale, ecco l'an- 

 damento da seguirsi : 



Stabilite le relazioni (1) e (2) come nel § 2 si sviluppino i seni contenuti nel se- 

 condo membro della (2) trascurando le potenze di « superiori alla terza, e si ha 



WlM 



tan' -A = 

 z 





i)<» 1— 



2. 3 



Xg-^ I 



2. 3 ; 



ovvero 



tan' -A: 



m n 



P fJ 



2. 3 



1 «»' vN_-PJ!l 



~^73r'\ 2.3 



X II 



^.'ì-1 



2. 3 



Sviluppate le potenze — 1 degli ultimi due fattori, effettuate le moltiplicazioni in- 

 dicate, omettendo i termini dipendenti dalla quarta potenza di », si ricava 



1 , m n 

 tan' - ^ = 



2 p q i 



l — ( m' -(- w= — p' — q^ ) 



2. 3 



espressione esatta fino alle quantità di quart' ordine esclusivamente; e per essere 

 DI' -\-n' — p- — (/'= — 2 6c ( § 4) ne risulta 



tan'^A = ^^^(l+Ì6c»=) (V). 



p q ó 



Siano ora A', B', C gli angoli di un triangolo rettilineo avente i lati di eguale 

 lunghezza a quei del proposto triangolo sferico, e rispettivamente opposti ad a, b, e. 

 Poiché il triangolo sferico si suppone pochissimo curvo A deve differire poco da A' , 

 onde posto A^A' -\- x, x sarà una quantità piccolissima. Per una proprietà del trian- 

 golo rettilineo si ha 



, 1 ,, m n 



tan' - A = , 



2 p q' 



cosi alla relazione (v) può darsi la forma 



tatf |(4' + ^) = tan'l4'X(l+| bc^']; 



ed essendo 



tan - [A' 

 2 * 



+ a;) = 



1 ., , 1 



tan - A + tan — a; 



1 — taa - 4 tan - a; 



^ 1 + cot - 4 tan - a; 



:tan-A' — ^, 



1 — tan - il tan - « 



♦" 



