4 SL^LLA KAPPKESENTAZIONE GEODETICA 



tici da circoli aventi i centri sopra rette perpendicolari all'asse stesso; 

 cadendo la rappresentazione della parte reale della superficie sul semi- 

 piano positivo. Facciamo una inversione per ragi^-i vettori reciproci, sce- 

 gliendo per centro d'inversione un punto della perpendicolare innalzata 

 al piano rappresentativo da un punto della retta limite. Allora, coni' è 

 noto, il piano si trasformerà in una sfera, la retta limite diverrà l'equa- 

 tore di detta sfera; tutta la porzione reale della superficie si proietterà 

 sopra un emisfero; e precisamente i circoli rappresentanti le geodetiche 

 si proietteranno secondo circoli i cui piani saranno normali al piano dello 

 equatore, ed i circoli geodetici secondo circoli della sfera. Facendo an- 

 cora una proiezione ortogonale dello emisfero in parola sul piano dello 

 equatore, le geodetiche verranno rappresentate dalle corde del circolo 

 equatoriale (circolo limite) ; i circoli geodetici da coniche doppiamente 

 tangenti al circolo limite *, cadendo la rappresentazione della porzione 

 reale della superficie internamente al circolo limite predetto. 



Il metodo esposto raggiunge maggior semplicità e generalità di quelli 

 noti. Il Darl)oux **, difatti, pur fondandosi sulla suaccennata rappresen- 

 • fazione conforme della pseudosfera (che è la fondamentale), passa dalla 

 medesima alla sfera, e sceglie su questa il centro di ]3roiezione in modo 

 che è lecito ricavare la rappresentazione di Beltrami per una sola fa- 

 miglia di geodetiche e loro traettorie ortogonali, e non contemporanea- 

 mente per tutte le geodeticJie rappresentate nel semipiano. Il metodo del 

 Klein, riportato dal Bianchi ***, soddisfa alla necessaria generalità ri- 

 guardo alla proiezione delle geodetiche: ma per adoperare lo stesso è ne- 

 cessario passare dalla rappresentazione isogona suaccennata della pseu- 

 dosfera ad altra pure isogona nella quale la retta limite è divenuto un 

 circolo limite; mentre in quello da noi dato si ya dalla rappresentazione 



* Non ci sembra inutile accennare le considerazioni g-eometricho clie portano ad am- 

 mettere la proprietà esposta. Se sopra una sfera si siippong-ono tracciati due circoli C 

 e C", e dal polo V del piano di C rispetto alla sfera si proiettano i due circoli, avviene 

 che i poli della retta i; intersezione dei piani di C e di C", rispetto ai medesimi C e C 

 si trovano allineati con V; e sul piano T'?' i fasci in involuzione di rette reciproche 

 aventi il centro in 1^, e relativi ad ambedue i coni , coincidono. In tali condizioni si 

 dice che i due coni hanno doppio contatto, giacché si considerano proiettivamente equi- 

 valenti a due coni aventi due generatrici comuni. Nello stesso senso si dice che se- 

 gando quei dvte coni con un piano non passante per V, le coniche risultanti hanno un 

 doppio contatto. Nella costruzione da noi fatta essendo il piano del circolo C lo equa- 

 tore della sfera, il polo dello stesso rispetto alla sfera è un punto all'infinito. 



** V. DABBorx : Leeone sia- la theor/e des Siirfaces. (T. Ili, pag. 441). 



•.;■«» Y_ Bianchi : Lezioni di Geometria Differenziale, Pisa, 1894. 



