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isogona fondamentale della pseiidosfera, senza trasformazioni intermedie, 

 a quella di Beltrami. 



È utile ancora rammentare che sulle superfici a curvatura costante 

 negativa vi sono tre specie di circoli geodetici, intendendo col Darboux 

 per circoli geodetici le linee a curvatura geodetica costante; cioè : 1" quelli 

 pei quali le geodetiche ortogonali concorrono in un punto a distanza fi- 

 nita, che è il centro dei circoli in parola: 2" quelli per cui le geodetiche 

 ortogonali tendono a concorrere in un punto a distanza infinita; ;•!" quelli 

 per cui le geodetiche ortogonali non hanno punto di concorso, o se vuoisi, 

 concorrono in un punto ideale. 



Nella rappresentazione conforme suaccennata della pseudosfera sul se- 

 mipiano , i circoli geodetici della 1-' specie non toccano 1' asse delle ;/•; 

 quelli della 2" gii sono tangenti; quelli della 3'' lo secano. Corrisponden- 

 temente nella rappresentazione geodetica della pseudosfera sul piano le 

 coniche rappresentatrici dei circoli della l" specie hanno col circolo li- 

 mite un doppio contatto immaginario ; nel 2" caso i due punti di tan- 

 genza si riuniscono in un solo reale; nel 3" caso si hanno due punti di 

 tangenza distinti e reali. 



Non facendo parola dei meridiani delle superfici di rotazione accoi- ■ 

 nate in principio del §, poiché essi, com'è ovvio, vengono rappresentati 

 da rette , le considerazioni geometriche precedenti permettono di affer- 

 mare che i paralleli vengono in ogni caso rappresentati da coniche. Ciò 

 è facile intendere per le superfici a curvatura costante positiva ; per 

 quelle a curvatura costante negativa basta tener presente che i paralleli 

 possono considerarsi come circoli geodetici appartenenti alla 1-', 2" o 3"- 

 delle specie cennate sopra, secondochè facciano parte del sistema geo- 

 grafico della superficie pseudosferica del tipo ellittico, del tipo parabolico 

 del tipo iperbolico. 



Il fissare sul piano le curve rappresentatrici del sistema geografico 

 delle superfici di cui è quistione, sarebbe molto complicato qualora si 

 volessero desumere i meridiani ed i paralleli dalle equazioni generali 

 delle geodetiche e delle loro traettorie ortogonali, la determinazione delle 

 quali ultime, fatta per quadrature, porta ad espressioni assai involute. 



Ma noi mostreremo come , avvalendoci delle equazioni in termini fi- 

 niti delle geodetiche e dello arco di geodetica, con opportuno metodo, 

 che equivale ad una trasformazione di coordinate curvilinee, si possono 

 con grande facilità stabilire nel piano le equazioni delle curve rappre- 

 sentatrici cercate; e si ha mezzo di trovare la rappresentazione piana di 

 una curva qualsiasi espressa sulla superficie mediante le coordinate geo- 

 grafiche. 



