6 SULLA EAPPRESENTAZIONE GEODETICA 



2. È necessario premettere talune considerazioni d'indole generale. Quan- 

 do sulle supertìci a curvatura costante positiva o negativa ( K ~±—,) , 



si scelgono a linee coordinate le geodetiche uscenti da un punto P e le 

 loro traettorie ortogonali, l'elemento lineare di tali supertìci assume la 

 forma 



(1) d .r = ir- {d s- -f sin' s d r-) 



(2) d s-2 — «2 fd s-2 + 



d 



dove, com'è noto, s è l'arco di geodetica contato a partire da P, v l'an- 

 golo che una geodetica qualunque del fascio fa con una geodetica fìssa. 



Su tali superfici le linee accennate costituiscono un sistema di ellissi 

 ed iperbole geodetiche , secondo le definizioni date dal Dini nella sua 

 Memoria *; e se le stesse si scelgono come direzioni principali per la 

 rappresentazione geodetica delle superfici in parola sul piano, in questo 

 le direzioni principali saranno le linee che costituiscono il sistema di 

 coordinate polari *"•'. 



Noi terremo, per maggior comodità, nel piano le coordinate cartesiane, 

 scegliendo come assi coordinati la retta corrispondente al meridiano pas- 

 sante per P, e quella corrispondente alla geodetica tangente in P al pa- 

 rallelo passante per lo stesso punto. 



Ciò posto, rammentiamo che le equazioni della geodetica sulle super- 

 liei accennate, si possono ridurre alla forma 



(3^ .-1 tg .s cos V -f- B tg i' sin e + C = 



(4) A . cosr + i?— ;Sini'+(7=0 



* V. hi proposito Bianchi [Lezioni di Geometria Differenziale, p. 167). 

 *" Ciò può cavarsi facilmente dalla considerazione che posto lo elemento lineare della 

 superficie da rappresentarsi, sotto la forma generale 



(a) d .s^ = ^ (a i7-|- &) - (rt V -f- /;) | (-^ d u^ +^ d v'^ \ 

 il Dini, nel § 7 della sua ilenioria, cava che dette , --- ; j^ , -^^ le curvature 



pLi pv p a p V 



geodetiche delle direzioni principali u,v della superficie («) e di quella su cui essa si 

 rappresenta, tali curvature sono legate dalle relazioni 



-i- = {a V+ b)i' — -^ = (a r/-f bj^ — 



p u pu p V ?v 



Nel caso che lo elemento {a) si riduce alla forma (1) o (2), si ha u = «, F= 0, TJ= f{ii)\ 



e poi = 0, = 2{ii), donde si deduce la proprietà enunciata. 



pv pu 



