﻿Über eine dem Brentano-Müller-Lyerschen Paradoxon usw. 285 



Sehne BO, — bzw. die Kugeloberfläche mit der Schnittebene des Parallel- 

 kreises — bildet.) 



Es ist aber der Flächeninhalt eines Kreises gleich Trmal dem Quadrat 

 des Radius. Der Flächeninhalt unseres Parallelkreises also = Trsin 2 .?. Und 

 für jeden Parallelkreis gilt, wenn wir den Bogen PO variabel sein und von 

 0° bis 180° wachsen lassen, daß sein Flächeninhalt gleich rcmal dem 

 Quadrate des Sinus des zugehörigen Tangentenwinkels x, gleich rcsin 2 x ist. 

 Es ist also die wechselnde Größe der Parallelkreise lediglich abhängig von 

 der Größe des Sinus des ebenfalls wechselnden zugehörigen Tangenten- 

 winkels, und der Bogen dieses Winkels ist stets gleich der Hälfte des 

 durch die Parallelkreisebene abgeschnittenen Meridianbogens. 



Wir wollen den, von P aus als Nullpunkt gerechneten, willkürlich 

 zwischen 0° und 180° variabeln Bogen PO, der an der Kugel also die 

 Hälfte des durch den Parallelkreis abgeschnittenen Meridianbogens bedeutet, 

 mit n bezeichnen. Den kleinsten vorstellbaren Zuwachs dieses Bogens, gleich- 

 viel von welchem zwischen 0° und 180° liegenden Werte u wir auch aus- 

 gehen mögen, also das Differential, nennen wir du. Den zum Bogen 

 (u + du) gehörigen Sinus, der also je nachdem größer oder kleiner als 

 sin u sein wird, bezeichnen wir mit sin (u + du). Dann bedeutet d sin u 

 den positiven oder negativen Zuwachs, den sin u erfährt, wenn u um du 

 wächst. Sonach ist sin (u + du) — sin u = d sin u. Nun ist, gleichviel, 



n . , , , d sin u 



wie groß u ist, stets — 3 = cos u. 



ö ' du 



Sobald sich also aus unseren Beobachtungen ableiten läßt, daß im 

 Grenzfalle Brentano-Müller-Lyer unsere Täuschung proportional dem 



genannten Differential quotienten von sin u, nämlich — -r- — wächst und 



abnimmt, so geht sie eo ipso proportional dem Kosinus des halben ab- 

 geschnittenen Bogens. Da aber der Winkelwert dieses Bogens gleich 

 (s. Fig. 4) dem des Tangentenwinkels x ist, so geht sie auch proportional 

 dem cos x. 



Dann muß aber auch bei Brentano-Müller-Lyer (s. Fig. 2) die 

 Täuschung sich proportional dem Kosinus des der Hauptlinie beiderseits be- 

 liebig angesetzten Winkels gestalten, da man stets die benutzte Haupt- 

 linie in einen passenden Kreis so als Sehne legen kann, daß der angesetzte 

 Winkel Tangentenwinkel ist. 



Daß aber für den von der Brentano-Müller-Lyerschen Figur 

 dargestellten Grenzfall tatsächlich die an den Parallelkreisschnittebenen 



aufgefundene Täuschung proportional dem Quotienten -~j -— bzw. 

 d sin x 



dx 



= cos oo sich gestaltet, ist aus den im Vorstehenden mitgeteilten 



