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Die zweite der vorliegenden Schriften enthält eine andere An- 

 wendung der in der vorigen Schrift entwickelten stereoskopischen 

 Formeln, die Figuren sind nach derselben Methode gezeichnet, doch 

 ist zur Bestimmung der Eckpunkte statt des Massstabes eine Theil- 

 maschine benutzt worden, wodurch natürlich eine grössere Genauig- 

 keit erzielt wurde. Die Untersuchungen beziehen sich hauptsächlich 

 auf die bekannten 5 Platonischen Körper, in denen durch Ab- 

 stumpfung der Ecken und Kanten u. s. w. andere, halbreguläre 

 Körper erzeugt werden. Dabei findet sich auch Vieles was beim 

 Studium der Krystallographie brauchbar ist, so sieht man z. B. den 

 Zusammenhang zwischen Oktaeder und Tetraeder überhaupt den 

 Zusammenhang der voll- und halbflächigen, sowie auch der einfachen 

 und abgeleiteten Gestalten des regulären Systems. Ferner sind die 

 ineinander eingeschriebenen regulären Körper (z. B. im Ikosaeder 

 ein Dodekaeder, darin ein Tetraeder und darin wieder ein Octaeder 

 etc.) sehr interessant; nicht weniger auch die Sternpolyeder, für 

 welche der Verf. auch noch einige schattirte Zeichnungen entworfen 

 hat, um die einspringenden Ecken recht deutlich zu machen. Die 

 Zeichnungen sind alle sehr sauber und accurat, so dass die Ent- 

 schuldigung in der Vorrede (wegen des Umdrucks) kaum nöthig 

 gewesen wäre. Die begleitenden mathematischen Untersuchungen 

 sind einfach und hauptsächlich für die Schüler von Gewerbeschulen 

 etc. berechnet. 



Die letzte der drei genannten Schriften hat allerdings gar keine 

 Beziehungen zu den Naturwissenschaften ; es sei daher hier nur er- 

 wähnt, dass das bekannte Problem der magischen Quadrate nicht 

 nur in einer z. Th. neuen Weise behandelt sondern auch auf ma- 

 gische Systeme höherer Ordnung, besonders auf magische Würfel 

 ausgedehnt wird. ,,Eine bestimmte Anzahl von Zahlen soll gruppen- 

 weise so geordnet werden , dass jede Gruppe in ihrer Vereinigung 

 einer bestimmten Bedingung entspricht." Durch- besondere Be- 

 schränkung entsteht daraus das Problem der gewöhnlichen ma- 

 gischen Quadrate, bei denen jede Horizontalreihe, jede Vertikal- 

 reihe und jede Diagonale (womöglich auch noch die den Diagonalen 

 parallelen Eeihen, d. h. immer je zwei kürzere Eeihen, welche zu- 

 sammen ebensoviele Felder haben wie eine Diagonale, vereinigt) 

 dieselbe Summe geben soll ; — wählt man ein Quadrat mit der Seite 

 n, füllt dasselbe mit den Zahlen von 1 bis n^, so muss diese Summe 

 = Y2 . n . (1 -f n2) sein. Dem entsprechend soll beim magischen 

 Würfel jede Horizontalreihe, sowohl die von rechts nach links, als 

 auch die von vorn nach hinten, ferner jede Vertikalreihe, und end- 

 lich jede Diagonale (sowohl die horizontalen, als auch die vertikalen, 

 endlich auch noch die körperlichen) dieselbe Summe geben, und 

 zwar bei dem Würfel mit der Seite p, der die Zahlen von 1 bis p^ 

 enthält die Summe V2 P • (1 + P*)- Verf. zieht hier nur Primzahlen 

 in den Kreis seiner Untersuchungen und zeigt, dass die Würfel mit 

 den Seiten 3, .''> und 7 nur „unvollständig magisch" sein können, 



