Mathematische Ableitung der Form des scheinbaren Himmels. 13 



Um den Koordinatenaüfang O schlagen wir über der Abszissenachse 

 mit dem Halbmesser h einen Halbkreis. Solange h konstant belassen wird, 

 wächst, während wir den Winkel (f von 90'' (bei Z auf der y- Achse) im 

 rechten oberen Kreisquadranten nach der (rechten) positiven Seite bis 0° 

 (bei 8 auf der a;- Achse) abnehmen lassen, die Abszisse x im Verhältnisse 

 von cos 95, und x ist stets gleich i.cosg). Wenn wir jetzt den Strahl OZ^ 

 der hier bei Punkt O, wo o? = 0, gleich h ist, mit abnehmender Größe des 

 Winkels 9 gleichmäßig wachsen lassen , so erreicht er bei qp = 0, wo auch 

 y = O ist, ein Maximum. Aber in eben demselben Verhältnisse, in dem 

 der Strahl wächst, wächst auch, im Vergleiche zu dem früheren x, die 

 Größe der neuen Abszisse Xy Bei einer beliebigen Größe von qp heiße am 

 wachsenden Strahle der bewegliche Endpunkt P^. Die Größe der Abszisse x^ 

 dieses Punktes P^ steht zu der Abszisse x desjenigen Punktes P auf der 

 Kreisperipherie, welcher mit P^ demselben Werte von qp zugehört, in dem- 

 selben Verhältnisse, wie die Länge OP^ des Strahles zu h. Wächst also 

 der Strahl von 90 '^ bis O'' im Verhältnisse von 6: 6 . 8-5 = 1 :3.5, so 

 wächst auch die neue Abszisse x^ von aus in der Richtung nach rechts, 

 nach S im Verhältnisse von ^:a;.3-5 = 1:3-5. Es wird also die Abszissen- 

 achse über S hinaus um das 3^2 fache in allen ihren Teilen gedehnt, 

 während der Punkt un verrückt und die 3/ -Achse ungedehnt bleibt. 

 Die neuen Koordinatenwerte sind also 



x^ = 3'5.a7, also X =07^, und y^ = y, also y = y^. 



Setzen wir diese Werte in die Gleichung des Kreises: 



x'^+f^ = P, 

 so geht diese für die neue Kurve über in 



Dividieren wir hier durch P, so erhalten wir: 



(6. 3-5)2 I 52 



Dies ist aber für rechtwinklige Koordinaten die Gleichung einer 

 Ellipse, deren halbe große Achse = Z».3-5und deren halbe kleine Achse = h 

 ist. Der im Entstehen begriffen gewesene Halbkreis ist in 

 eine Halbellipse umgewandelt worden. 



Wenn also festgestellt wäre — oder wenn mir der Nachweis noch 

 gelingen sollte, daß der Halbmeridian des Himmels wirklich als eine Halb- 

 ellipse erscheint, so würde das Entstehen dieser Halbellipse — rein 

 analytisch-geometrisch gesprochen — ganz klar sein. Alsdann wäre die 



