10 WiLH. Filehne: 



"1 



X 



+ (^1 + r-C0S(f)^ =r2 (1) 



+ z/j 2 + 2 ?' • COS (/) -yj + r^ cos^ qo = r^ 



x^^ + 7/-^^ + 2r-cos(f7/^ = r^'Sin^cp (2) 



Daß dies die Gleichungen des Bogens JVZS wirklich sind, läßt sich 

 bestätigen, da wir für drei auf ihm gelegene Punkte die Werte für x^ 

 und 3/1 genau kennen: erstens für Punkt 0, wo Xj = und y^ = r — r. coscp 

 wird; dann für Punkt S, wo y, = und x^ = r-sincp, und für N, wo y^ 

 ebenfalls = und x= - r • sin qo wird. Setzen wir in Gleichung (2) für 7/^ den 

 Wert 0, so erhalten wir x^^ = r^-sin^g-, was sowohl für Punkt N als für S 

 sich als zutreffend erweist. Setzen wir ferner in Gleichung (1) x = 0, so geht 

 diese Gleichung über in 



(?/j + r .cosq))^ = r^. Ziehen wir beiderseits die Quadratwurzel, 

 so erhalten wir: 2/^ + r.cosip =r, 



y^ ■=■ r — T' cos 9), 



was wiederum zutreffend ist. 



Die Gleichungen (1) und (2) gestatten die Prüfung, ob die sie zusammen- 

 setzenden Elemente sich mit den Daten und Erwägungen vertragen, über 

 die wir uns von vornherein geeinigt haben. 



Die Strecken x^ und y^ in ihrer Beziehung zueinander sind Gegen- 

 stand unmittelbarer sinnlichen Wahrnehmung : x^ ist die Bodenstrecke, y^ die 

 Erhebung des Himmelsmeridianpunktes über dem Endpunkte jener Strecke. 

 Hier ist nichts zu bemängeln. Auch die Größe r-sinqp wird qua Horizont- 

 radius sinnlich wahrgenommen — allerdings ohne irgendwelche Beziehung 

 zu qp und n Aber um die Vorstellung von einem tatsächlich nicht existierenden 

 Kreisbogen von etwa 32^ zu bilden, bedarf die Psyche noch des Elementes 

 r . cos q:. Selbstverständlich kann aus der Formel 



:rj2 +y^3 ^ 2r.coS(/).2/^ = r^.sin^cjD 

 nicht der ästhetische Eindruck abgeleitet werden, den jener Kreisbogen 

 macht. Aber wenn wir, die wir hier die Figur 1 diskutieren, eben diese 

 Figur betrachten, so sehen wir an ihr r und r-cos(p. Auch wer nicht 

 weiß, was ein Kosinus ist, nimmt in der Figur sinnlich das wahr, was 

 r . cos 9 ist. Wer aber unter freiem Himmel den Quadranten des Himmels- 

 meridians — also einen Winkelbogen von 90° — betrachtet, sieht doch 

 nicht den Radius r des konstruierten Kreises, jenen Radius, der 6 -6248 mal 

 so lang wie die Zenithöhe ist; er sieht auch keinen Bogen von 31° 53' 28" — , 

 der ja gar nicht existiert, und vom Kosinus dieses Winkels existiert erst 

 recht nichts. Und doch braucht er das Material, das wir mit r und cosqj 

 bezeichnen, um die Vorstellung eines nicht existierenden Kreisbogens über- 

 haupt und eines solchen von gerade 31° 53' 28" zu bilden. Und dann 



