Mathematische Ableitung der Foem des scheinbaIien Himmels. 9 



zur Maßeinheit, so ist der Radius r = 1 + r. cos^, also: r (l — cos(p) = 1, 

 also r = = 6 • 6248. Dieser Wert wird später für uns von 



1 — cos (f! ^ 



Interesse werden. 



Der Winkel qo bzw. der Bogen ZS = ZJV berechnet sich aus dem Werte 

 costp = 0-8490532 auf 31 '^ 53' 28". 



In der Figur 1 ist dieser Winkel bzw. Bogen in seiner richtigen Größe 

 oder Kleinheit gezeichnet. Die Winkelneigung der Sehne JSfS in den 

 Punkten S und N zum Peripherieansatz ist genau ebenso groß — ebenso 

 spitz; der von der Tangente TT in Nmii der Sehne gebildete Winkel beträgt 

 nämlich ebenfalls 31^ 53' 28"; Beweis: der Tangentenwinkel TNS'mt gleich 

 jedem beliebigen auf dem Kreisbogen N8 stehenden Peripheriewinkel im 

 entgegengesetzten Kreisabschnitte und also auch gleich dem halben zu- 

 gehörigen Zentriwinkel NMS, also = .9^ = i\^-^= 31 ° 53' 28". 



Daß aber das Himmelsgewölbe bzw. der Meridian mit der Horizontal- 

 ebene einen so spitzen Winkel bilde, ist glatt abzulehnen. Im G-runde 

 genommen steigt der „Himmel" senkrecht von der Ebene auf; in der Ein- 

 leitung haben wir allerdings zugestanden, daß man bei einer gewissen Be- 

 trachtungsweise den Winkel als spitz d. h. kleiner als 90° erfasse. Also 

 einige Grade sind wir bereit, uns hier von den GO*' eines Rechten weg- 

 disputieren zu lassen — aber doch nicht gleich fast 60° d. h. fast 66^/3 Pro- 

 zent! Da der Winkel nun aber einmal so spitz ausfällt, sobald man von 

 der Kreisbogenhypothese ausgeht, weil eben der Horizontradius 3 • 5 mal so 

 groß wie die Zenithöhe erscheint, so ist die Kreisbogenhypothese unhaltbar. 

 Trotzdem wollen wir sie zu retten suchen, wenn sie noch zu retten ist. 



Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem lautet die Gleichung unseres 

 Kreises (s. Fig. 1), wenn der Mittelpunkt M zum Koordinatenanfang und 

 OZ als Einheit genommen wird und wenn wir den Radius mit r, = 6-6248 

 (s. oben), bezeichnen, für die x und y der einzelnen Peripheriepunkte: 



Verschieben wir die a;- Achse parallel mit sich selbst, so daß der 

 Koordinatenanfang von M nach 0, dem Orte des beobachtenden Auges, 

 gelangt, während die ^- Achse mit der Sehne N8 zusammenfällt, so ist 

 in den a:- Werten nichts geändert, und für einen Punkt x^ y^ des Bogens 

 NZS bleibt x.^ = x aus dem vorigen Systeme. Dagegen haben sich die 

 y- Werte um die Strecke MO vermindert. Es ist also y-^ =y — MO. Nun ist 

 aber, wenn wir den Winkel OMS wieder mit 9 bezeichnen, MO = r.cosqo, 

 also y^ = y - 7' .Goacp oder y = y^ -\- r. cos cp, während x = x^. Setzen wir 

 dies in die vorige Kreisgleichung ein, so gilt jetzt für unsern Bogen NZS 

 die Gleichung: 



