GLI INTEGRALI GENERALI DEL MOTO DEL BIPENDOLO 33 



Si ponga, per semplificare : 



., Cxaihf 

 ^ = —^ (44) 



basterà, tenendo presente la forma della D (cp') che è il 1» membro della (14) 

 cercare il valore di /", che soddisfa ciò che diviene la (43) per l' introdu- 

 zione della (44), cioè : 



— \t.i 

 Dif) = e cosimi + Yi) (io) 



Ora dico che si soddisfa a questa, ponendo ; 



— 11.1 

 f=Jie cos[mt+Yi) (46) 



essendo Xi, Fi due costanti per ora indeterminate. 



11. Introducendo in (45) al posto di f la (46) ed eseguendovi quindi le 

 operazioni indicate dal simbolo D , si vede subito , che la (46) si cambia 

 nell'altra : 



Xi [Pcos{ m t + Ti ) -j- Q sen (»^ t n- Ti)] — cos(mt + yi ) (47) 



ove le P, Q son funzioni di m, \i. e dei coefficienti del 1° membro della (14), e 

 hanno forma nota. La (47) dà la condizione a cui debbono soddisfare le Xi, li 

 affinchè (46) sia integrale di (45). Ora in (47) svolgendo i seni e coseni, 

 si ha : 



cos in t (PXi cos Fi -\- QXi sen Fi) + sen m t { QXi cos Fi — PXi sen Fi) 

 = cos ni t cos yi — sen m t sen yi 



per il che è necessario e sufficiente che sia : 



PXi cos Fi + QXi sen Fi = cos yi QX\ cos Y\ — PXi .se)? Fi = — sen yi 



che bastano a determinare Xi, Fi. Si ha, da questa : 



1 ' Psenyi -\- Qcos 7, 



Xi = —, Fi = arctg ^- ^ ^ (48) 



y P'^ -t- Q^ Q sen yi — P cos yi 



onde, per la (46), la (44) diviene: 



b -V-' 

 ■^- — Ci ai — e cos (m t + Fi) (49) 



essendo la Fi data dalla (48). La (49) è il cercato integrale della prima 

 delle (43). Perfeitamente analoghi saranno gli integrali delle altre due (43) : 



