TEORIA DELLA BILANCIA DI TORSIONE DI EÒTTÒS 37 



è appunto simmetrico rispetto al piano ac come si è detto pel corpo 8: 

 se fosse simmetrico anche rispetto ad ab sparirebbe l'integrale dell'ultimo 

 termine della (12), e con esso due delle derivate seconde che vogliansi de- 

 terminare. Se realmente di queste due ultime non c'importa, non si ha 

 che a modificare la disposizione dell'apparecchio, ponendo il secondo ci- 

 lindretto non più pendente dall'estremo B, ma in continuazione dell'asse 

 del giogo in questo estremo. Si ha così la simmetria attorno a tutti tre 

 gli assi, e la (12) si riduce ai due primi termini. Tale apparecchio modi- 

 ficato è stato pure costruito, ma non ce ne occuperemo, perchè rientra nel 

 caso più generale dissimmetrico. 



Vediamo ora di determinare gl'integrali di (12). Si può scrivere: 



/ (a 2 — 6 2 ) dm = / (a 2 + è 2 ) dm — 2 f b- d m 



Il 1° termine del 2° membro è il momento d' inerzia della bilancia ri- 

 spetto al filo di sospensione ch'è asse delle e: tal momento diremo I. Il 

 2° integrale è trascurabile rispetto al 1°, poiché mentre a varia da — l ad l 

 (2 1 = lunghezza del giogo = 40 cm.), b non varia che da — 2,5 nuli, a 2,5 

 millim.; quindi ci contenteremo di scrivere 



/ (a 2 — ò 2 ) dm = 1 (13) 



e questo I sarà considerato come incognito. 



Consideriamo, ora il prodotto d'inerzia che è nell'ultimo termine della (12). 

 Se non vi fossero i due cilindretti di platino, esso sarebbe zero, per la 

 simmetria che ne conseguirebbe : dunque esso ha il solo valore che gli 

 viene dalla presenza dei due cilindretti. Supponiamoli ridotti ad un punto, 

 ciascuno, colla massa comune d m. Si disse / la semilunghezza del giogo, 

 li la lunghezza del filo che porta il cilindretto sospeso in B. Le coordi- 

 nate del cilindretto in A (ridotto a un punto) sono a = -\-l, e = o; quelle 

 dell'altro cilindretto sono, a = — l, e = — /;, onde il prodotto d'inerzia in 

 tal caso si riduce, pei due punti, ad 



l h d m. 



Se invece della massa elementare mettiamo la massa m, avremo con 

 analogo ragionamento il valore del prodotto d'inerzia : 



,/'s ac d m = l h m. (14) 



Sostituendo, infine, le (13) (14) nella (12) avremo : 



_ (éP-U d*U\I _ d*U _ _ 



2 — -5—5 , — 7, I -x seri 2 a. ■+■ -- — — I cos 2 ce 4- 



\ d y- d x- ! 2 dxdy 



- cos a - — — — seri a. )l h m. (lt>) 



dy dz d x d z 



