24 TEORIA DELLA BILANCIA DI TORSIONE DI EÒTVOS 



Se la direzione X è quella di uno degli assi, p. e. dell'asse delle x, e 

 la cp è una delle derivate seconde relative almeno una volta ad x, la (11) 

 può eseguirsi nel 1° membro. Sia p. e. 



d%TJ „ , 



cp = -; — r~ e ak — ax 

 dxdy 



e si dicano si, % i punti in cui cp conosciuta sull'asse x. 

 La (11) diverrà: 



/dU\ _(dU\ _ x z -x l r(d>U\ d*U\ -i 

 \dyJs„ \dyì Xl 2 \-\ dxdy J Xì dxdy ! ^J 



Se invece e a» — r 



dar 



fZZ7\ /dCT\ a* — aa rfdPU\ , /d 2 U\ 



avremo : 



dx 



i-m=^\m+mn ^ 



cosicché avremo ottenuta la differenza di due derivate prime, in due dati 

 punti, conoscendo i valori delle derivate seconde in quei punti. 



Un altro tipo di questi calcoli è quello di derivare una derivata seconda, 

 cp, rispetto ad uno degli assi, e integrar poi il risultato nella direzione del- 

 l'altro asse. 



Si osservi, anzitutto, che la derivata di cp in una direzione qualunque 

 a P y , è costante, ed è la stessa costante, qualunque sia la posizione della 

 retta a (5 y , nella regione, il che risulta subito dalla (7) , poiché [x è fun- 

 zione solo di a, [3, '(. 



Ammesso di conoscere i valori di cp in tee punti del piano xy : si po- 

 tranno, applicando le (9), avere i valori di cp in due punti dell'asse delle 



y: e colla (10) avremo la -— che è una costante. Se si vuole integrare que- 



dy & "* 



sto lungo l'asse delle x, avremo : 



/dcp , (/cp 



l- d -dx = (x 2 -x 1 )/ y (M) 



ATT 1 rf2 ^ 



Applichiamo al caso: cp 



Allora, siccome 



Jdy 



si avrà da (14) : 



dxdy 

 aX Jdy\dxdy) aX -)dx\dy*) a " 



d 2 U\ fd 2 U\ . d ! d 2 U\ 



~ (x-2 — xi) — — — (15) 



^dy' 1 '^ \dy' 2 ! Xì dyxdxdy J 



ove il 2''° membro dee ritenersi noto 



