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Bulletin de l'Académie Impériale 
qui, par l’addition successive de ses termes, à com- 
mencer par le premier, conduit aux carrés successifs 
¡PES a CA. EE E 
on forme, avec la plus grande simplicité, le tableau 
suivant des opérations qu'on a á effectuer pour trouver 
Pexpression de la somme cherchée, Je supposerai d’a- 
bord que N est de la forme particulière (m + 1? — 1, 
et par snite m = VN — 1 — 1; dans cette hypothèse 
on aura la petite table suivante: 
Valeurs. Nombre Sommes 
Topo ^. de EVu: de termes: partielles: 
er Eyi =Ey2 =EV3 = 1..... DURUM: 
- BYE —Ey5.—Ey6 
f —EVT =EV8 =2.....:5....10 
Ey9 —Ey10—Ey11 | 
= © =EV12=EV13=EV14 
E | —EY15— 3......7....21 
Ey m? = Ey w?a-1— EVm+2 e 
 =EVm-+ =..=EV (m+1-1=m..2m+1..m(2m+1). 
. Test visible que la somme cherchée est égale au 
total des sommes partielles, contenues dans la der- 
nière colonne, et comme 
3410-21 +. .m(2m+-1) = Sietzen 
=2 Nu ee 
il s'en suit qu'on aura 
TEST) 
u=N 
Ss - 
#= 1 
N=(m+1)—1, m=VN= 1}, 
meines d 
H 
5 Passons maintenant au cas general. Appelons tranche 
de Vordre p l'ensemble des 2p. + 1 termes, commen- 
Gant par p? et se terminant par (p + 1? — 1; suppo- 
sons que le nombre N est composé de m tranches 
a qui e est de Pordre m=- 1; on aura par conséquent 
letes et de K termes de la tranche incomplète sui- | 
N = (nci d T ede 
m-—1, étant égal à EVN, d’où m = EYN—1; : 
quant à la valeur de K= N — (m a- 1) +1, elle | 
sera inférieure à 2 (m + 1) + 1 = 2m + 3, € EU 4 
inférieure au nombre total des termes de la G +1 
tranche. De là nous concluons, que la somme cher- « 
chée est égale à l'expression (1) augmentée de l'entier … 
m + 1 répété K fois; pohini donc à (1) ce terme 
complémentaire 
(m= 1) K = (ma 1) (N—(m + 141), 
on aura la formule 
u—N 
sun 
u—1 
ou bien cette autre, en mettant en évidence le facteur — 
m +- 1: 
MESA A 
SE Dee 2. : 
Kä iM SCHIER 2m u BE o (3) 1 
u=1 A E 
La forme des expressions (1) et (3) donne lieu à ` 
une question assez curieuse, nommément à celle de / 
déterminer les valeurs de N pour lesquelles les sommes ` : 
N 
2EVu w se réduisent à des nombres premiers. Et dc ; 
bord, on s'assure de suite que la premiére de ces ` 
expressions, celle qui se rapporte à l’hypothèse "m ; 
N = (m -- 1) — 1, n'admet que deux solutions, nom- - 
mément pour N=3 et N — 8; ainsi, pour N=3 
ooo o c 
on a 2Eyu=3, et pour N — 8, ZEVu= 13. 
Passons au second cas, celui de N quelconque. 
Avant tout observons que le second facteur 
| 
Ww Ewen meneame y (i3) CN (me 191), (Y 
| 
| 
6N — 2m? — 7m | E 
E 
du numérateur de la fraction (3), tout en pouvant être 
divisible par un des facteurs 2, 3, 6 du dénominateur. 
6, ne peut pas se reduire à l’un des nombres 1, 2, 3, 6; 
en effet, comme dans le cas actuel la valeur mimma 
de N est égale à (m A 1), le minimum du facteur 
en question sera égal au nombre l 
6(m + 1? — 2m — 7m = 4m 5m6, À 
évidemment déjà supérieur au dénominateur 6. Ke: 
