des Sciences 
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de Saint- Pétersbourg. 
marquons de plus que la plus petite valeur de cette 
expression, correspondante à m = 1, est égale à 15, 
nombre qui divisé par 3 donne 5, et par suite 
4 
N'Eyu = 
au nombre premier 5 
RE 
De ce que la valeur numérique de l'expression 
Am? + 5m + 6, divisée, s'il y a lieu, soit par 2, soit 
par 3 ou par 6, est supérieure à 1 pour m > 1, on 
conclut que l'expression (3) ne pourra se réduire à un 
nombre premier à moins que l'on n'ait 
m--1 
m + 
L'URSS 
m+1 1 
RAT ERU UEM 
De là il résulte que les seules valeurs de m, qui 
peuvent conduire à des nombres premiers, se réduisent 
aux trois suivantes: m= 1, 2 et 5. 
Voici une petite table qui contient toutes les solu- 
tions de notre question dans le cas que nous considé- 
rons; les nombres premiers sont marqués d'un asté- 
risque: 
x EE 
4 1 5* | ae 5 131* 
5 1 7* | 37 5 137% 
6.1.1.4 026788 5 143 
7 1 11* | 39 5 | 149* 
- iu SE 155 
9:42 16 41 5.1 161 
10 2 19* | 42 5 | 167* 
11 2 | 22 43 5. | Li 
12 E p sl 5 | o 
13 2 los | 45 5 1185: 
14 2 | 31* | 46 5 | 191* 
AT |. 8 5| 7 
Voilà donc 13 cas dans lesquels l'expression (2) ou 
(3) se réduit à des nombres premiers; si l'on joint à 
ceux-ci les deux autres, 3 et 13, trouvés pour la for- 
mule (1), on aura en tout quinze valeurs de N, pour 
gto, 
lesquelles la somme 3EVu se réduit à des nombres 
1 
premiers, nommément à l'un des suivants; 
6, 7,11, 18, 19, 31, 181, 157, 169 
167, 173, 179, 191 et 197. 
S'il s'agit d'avoir l'expression de la somme SEVu 
entre les limites N’ et N toutes deux inclusives, on la 
trouyera par la formule 
u=N u=N 
es NV ia 
bdo KA Vu "Navi... 
um ul 
chacun des deux termes du second membre étant dé- 
terminé par l’une des formules (1) ou (2). 
Voici d’abord quelques applications numériques des 
formules (1) et (4) 
Soit N = 15; comme 15 = 4° — 1, on aura 
m — EV15 — 3, et par suite par la formule (1) 
15 
jm 4.17 
Kä = nn E 
1 
Pour N = 35 = 6?— 1, il vient m = EV36 =b; 
par la méme formule on trouve 
34. 
NEVu 
1 
Soit encore N = 48 = 71—1, m = EV48 = 6; 
Zi 6.7.29 
= 203. 
Yeva 
sorte que 
` 
on aura > er 
Si, de cette somme, on retranche la valeur de T y ` 
trouvée plus haut, on obtiendra le carré de 13, de 
Va YN RVa- VNEVu-203-34=169—19. — 
5 e i» - Be 
