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Bulletin de l’Académie Impériale 
Cherchons maintenant la valeur de la somme 
100 
> Evu; 
le nombre 100 n'étant pas de la forme (m + 1Ÿ— 1, 
il faudra employer la formule (2), et comme l’on a 
ml = V100 = 10, et par conséquent m = 9, 
il viendra 
= 695 = = Sch 
Sa d C06 
Pour donner un exemple du double emploi de la 
formule (2), proposons nous de déterminer la somme 
M 
Pour la limite supérieure 42 on aura m — 5 et, 
pour la limite inférieure 19, m'= 3; donc 
42 
DEVu = + 6(43 — 36) = 167 
e par la 
e d 17 formule (2) 
18 
> Eyu = 4 + 4(19 — 16) = 46, 
1 
et, finalement, par la formule (4), 
42 42 18 
> EYu= NEV«- > EVu= 167—46 —121-11*: 
19 1 1 i 
Les résultats numériques qu'on obtient pour la va- 
leur de la somme 
N 
> Eyu 
D y 
peuvent étre variés indéfiniment comme on va le voir. 
Supposons que cette somme, que nous désignerons par 
S, soit donnée, et qu'on se propose, si la question ad- 
met une ou plusieurs solutions , de déterminer les 
limites N’ et N telles que l’on M 
DE 
à ps in peu d'attention on verra que la solution de 
| qui est vérifiée par les valeurs 
| on aura l'équation ` 
indéterminée de la forme 
dans laquelle les quantités u, v... 
spectivement pour valeurs 
sont assujettis aux conditions 
Àz2m--1, nz2(m--k)-1.. 
susceptibles de varier entre certaines limites qui, vi- 
siblement , 
grande de S. 
alors à résoudre l'équation 
mà + (m= 1)n = 144, 
Az2m+1 et n22m-+3. 
m = 6, et l’on obtient l'équation 
6A + 7n = 144, 
À 10-15, n = 19 «15; 
N — 60, de sorte que l’on a 
60 
SEVu — 144 = 12. 
39 
Soit encore le méme nombre S— 12? et m=1 
TA 8n = 144, 
. jusqu'à E ont re- 
E 
Pour ce qui concerne les nombres m et k, ils sont - 
dépendent de la valeur plus ou moins | 
. Proposons nous de trouver les limites pour la 
somme ZEY' telles, que cette dernière soit égale à 
144 = 12*. Pour simplifier, ne prenons d'abord que « 
les deux termes extrémes de la série (5); on aura 1 
dans laquelle, en vertu des conditions (6), il fandra ` 
que l'on ait US 
On satisfait à ces conditions en prenant entre autres — 
E 
ces nombres conduisent de suite aux limites N = 3% 
d 
— 
cette question dépend de la résolution d’une équation ? 
mD--(m-- 1 )yy.--(m4-2)va-. ..--(ma-k —1 JE Hm+Kk)n=S, (5) ; 
2(m+ 1) +1, 2(m+2)+1,...2(m+k—1)+1, | 
Quant aux facteurs A et y des termes extrêmes, ils 4 
