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Bulletin de l’Académie Impériale 
Considérons d’abord la première des deux séries 
comprises sous les radicaux 
décomposons là en tranches, en commençant chacune 
d’elles par un carré, et en la terminant par le carré 
du nombre impair suivant diminué de deux unités; par 
conséquent l’expression générale d’une telle tranche 
sera 
(24 — 17, (24 — 13-- 2, (21—1)-4.. . (22-15 —2, 
et le nombre de ses termes égal à 44, comme il est 
facile de le voir. Nous appellerons première demi- 
tranche le groupe des premiers 2X termes, et seconde 
demi-tranche, l'ensemble de ses 2% derniers termes. 
. De plus nous observerons que la première demi-tranche 
est terminée par le terme (2X)— 1, et la seconde, comme 
on le voit, par (2% + 1? — 2, de sorte que l'on a 
Premiére demi-tranche: 
(24 — 1), (2. — 1? + 2, (2 — LB 4... (22) — 1; 
Seconde demi-tranche: 
GPL, (22-8, (2) -- 5... ar 1) — 2. 
On remarquera que la partie entiére de la racine 
carrée de chaque terme de la premiere demi-tranche 
est égale à 2» — 1, et celle de la seconde à 2). De 
là on conclura immédiatement, que la somme des par- 
ties entières des radicaux qu’on considère aura pour 
expression: 
de la premiere demi-tranche: 
Dur dme a a e COE (7) 
de la seconde demi-tranche: 
(A a ee (8) 
de la tranche entière: 
2A (2A — 1) + (21) = 2(44—1).... (9)| 
En nous fondant sur la dernière de ces trois expres- 
2 sions, nous trouverons trés facilement la somme 
San; 
1 
étendue à toutes les valeurs des nombres impairs de 
puis 1 jusqu'à N = 2M — 1 inclusivement. 
Commençons par le cas de N égal au dernier terme ` 
de la derniére tranche totale; on aura 
N-—(2--10—2, d'où =A quu 
À étant la valeur de la limite supérieure, limite qui 
correspond à N. Sommant l'expression (9) entre leg 
limites 1 et À, on obtiendra la somme cherchée, qui 
sera a 
Java — VI» (n — D= 
( + 1)( be, 
(L1) T: 
À étant déterminé par la form. (10). d 
Soit, par exemple, N — 119 — 11?— 2; l'égalité ` 
(10) donnera A = 5, et l'on aura par la form. (11) 
Navin = 25.4 — 410. a 
Quand le nombre donné N n'est pas de la forme | 
(24 + 1) — 2, nous poserons 4 
N — (2+ 1 a- 2 (K — 1), | 
(2% + 1) étant le plus grand carré impair, contenu ` 
dans N, et K le numéro de l’ordre que N occupe dans 1 
la tranche incompléte que nous considérons. Si EVNA 
est pair, on devra diminuer EVN d'une by de ` 
sorte qu'il viendra 
21--1— EVN —1, d'où à — PZ 
am 
Ainsi, par exemple, pour N — 43, on doit prendre S 
pour 24 + 1 le nombre 5 et non 6 — EV43; nous - 
verrons tout-à-l’heure, qu'en général, le nombre pair M 
EVN joue le même rôle dans la seconde demi-tranche - 
incomplète, que EVN — 1 impair dans la première : 
demi-tranche correspondante qui, dans ce cas, Sera . 
complète. za 
Reprenons maintenant l'égalité 
N= (+1)? + 2(K-—1); 
les K termes, qui appartiennent à la dernière tranche — 
incomplète, produisent le nombre qu'il faut je 
à l'expression (11) pour avoir la somme er 
$ Y 
