261 des Sciences de Saint - Pétersbourg. 5 262 
Comme le nombre N est, par hypothèse, inférieur à 
(20 + 1) + 1) — 2, nous aurons l'inégalité 
(23 + 1? + 2(K — 1) < (24 +1) + 1? — 2, 
qui se réduit à 
K< 4(& -- 1), 
ce qui d'ailleurs ressort de ce qui précéde. Pour plus 
de clarté dans l'exposé de la détermination du ferme 
complémentaire que nous cherchons, mettons en évi- 
dence toute la tranche qui y donne lieu, en séparant 
par un trait la première demi-tranche de la seconde, 
chacune d'elles contenant 2 (À + 1) termes: 
(21+1)2, (234-1)*--2, O 20871),.. Bier) 43) 
(2. XF1)2+1, (2. 34-19 3,.... (2.34-1)-122(1— 1),.... (224-8) —2. 
Il se présente actuellement deux cas, suivant que 
le nombre N se trouve dans la premiere ou dans la 
seconde de ces deux demi-tranches. Si N est compris 
dans la première, on aura 
(23 + 1) + 2(K — ET EE 
d’où ec 
Ez ire a LECTEURS . (44) 
le signe supérieur — devant-être pris quand la pre- 
mière demi-tranche est complète. 
Le second cas conduit aux deux inégalités 
(2 +1) + 2(K — 1) > (2 +2 — 1, 
(2) + 1) + 2(K — 1) < (21 +3? — 2, 
et par suite á celles-ci: 
K>20+1) et K<40-+1)...(15) 
Soit, dans le premier cas, K — h l'ordre du terme 
N dans la première demi-tranche (13); on aura 
N= (21 + 1? + 2 (h — 1), d’où p E 
et comme les valeurs de EV(2) + 1} 2 (h — 1) 
pour chacun des 2 (A + 1) termes de cette demi- 
tranche sont égales à 2% + 1, on aura pour le terme 
complémentaire l'expression Wigan: 
ar Dh Q1) (= At) 
Tome XXIX. 
et par suite, en vertu de la form. (11), 
A 
1 
Lorsque le nombre N se rapporte au second cas 
(13), le terme complémentaire se composera de deux 
parties: 1°) de la somme totale 2 (À + 1) (24 + 1) de 
la première demi-tranche (formule 7) et 2°) d'une 
partie de la somme relative á la seconde demi-tranche. 
Soit donc 
N—(2+2)+1+2(—1), 
| désignant l'ordre du nombre N dans cette seconde 
demi-tranche; on aura 
a RS, (47) 
5 4 9-999 € 
et comme les valeurs de EV(2 + 2)? 4- 14- 2 (|L— 1) 
pour chacun des termes de la seconde demi-tranche 
sont égales à 2 (À + 1), la seconde partie sera 
20 +1) (re , 
et le terme complémentaire total 
2(4+ 1) (2 + 1) + A + 1) (N — (2) + 2) + 1) 
— (+1) [N+ 4 + 3 — (23 + 2]. 
On aura done dans le second cas la formule 
Sy inten ne, (18) 
Si Pon a à caltaler x EVu, on devra déterminer 
d'abord les deux sommes. 
Navi et Nave, 
dans la seconde desquelles la limite supérieure N'—2 He 
est égale au nombre impair, qui précède immédiate- 
ment N’. La différence de ces deux sommes repré- 
sentera celle que nous cherchons; ainsi on aura 
Xe- = S'ma- "^ a 49 ` i 
