Bulletin de l’Académie Impériale 
Voici quelques exemples numériques des dernières 
formules. 
Soit N = 85, EV85 = 9 = 2,4 + 1, donc 
— 4; par la form. (16) on aura: 
Nave = 
Pour N — 113 il vient EV113=10, et comme 
ce nombre est pair, il faut prendre l’impair 9 qui 
précéde 10 immédiatement, conformément à ce qui 
a été dit plus haut; on aura donc À — 4 (form. 12). 
Ainsi le terme complémentaire sera composé de la 
premiere demi-tranche aprés celle qui se rapporte à 
À — 4, et, de plus, comme on peut le voir par la 
form. (17), de / — 7 termes de la seconde demi- 
iranche, de sorte qu'on aura (form. (18): 
= US. 4947. 
113 d 
DEVIS = u, 5.39 — 380. 
1 
Donnons une application de la formule (19): soit 
proposé de déterminer la somme Z'EV entre les 
limites 33 et 99. Comme EV99 — 9 = 2.4 + 1, et 
À — 4, on trouvera par la form. (16) 
= — 
N'EV u = 
1 
En diminuant de deux unités la limite inférieure 
33, on trouvera le nombre 31; de plus, comme 
EVJ 31 = 5, on aura À = 2; par Bauer: en vertu 
de la même form. (16), : 
EEN 10 = 310. 
Sai = ET 5.4 — 64, 
1 
et, finalement, (form. 19): 
99 
N EVu = 310 — 54 = 256 = 9, 
33 
Cherchons maintenant la somme 3,EVN qui se 
rapporte à la série des nombres naturels pairs N —92 M: 
une remarque très simple nous conduira à son expres- 
Ve sion analytique. Considérons les deux suites, compo- 
. Sées Hanne de 2p" nombres, nommément 
1795 8 TU E Ges 
Comme l'ensemble de ces deux suites forme la série 
naturelle des nombres 
bonus... 
:Qu*—1, (24), 
on peut appliquer la formule (2) à la détermination 
de la somme des entiers EV 2k — 1 et EY 2k de tous 
ses 4p” termes. En se repportant à ce qui a été dit 
relativement à la déduction de cette formule, on verra 
que le nombre », qui y figure, doit étre remplacé 
dans le cas actuel par 2 — 1, et comme de plus 
N = (29, et par conséquent p = 
citée donnera 
N 
Kg Ten Op DEOR D ae 9 
= , la formule 
EN 
Cela posé, on est naturellement conduit à la re- 
marque que les entiers EV2k— 1 et EV2k, qui se | 
correspondent dans les deux séries (20), sont égaux « 
entre eux, à l'exception des couples dans lesquels le 
nombre 2k de la seconde série est un carré parfait; 1 
dans ce cas on aura visiblement E 
EV3k = EV% —1 +1. | 
De là il résulte, que si E Dre par $ la 
somme 
NM/EV2E—1, 
relative aux 25^ nombres impairs, la somme 
2 EVA, 
relative aux 29? nombres pairs, sera S + p; addition- — 
nant ces deux sommes, on doit obtenir 
+ — 
NEV u, 
1 
donnée par la form. (21); on aura donc 
DST, 94 984 pa 
