Ge D PM, CN 
 h étant inférieur à 2p. 
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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
d’où l’on déduit 
N—1 
S = W'gyu = Zee). (92) 
1 
E -- 2 
S--p = > EVs — LOT EES. (08) 
2 
Si le nombre N n'est pas égal à un carré pair 
(25.)", nous poserons 
N = (26) + D, 
(2p.) étant le plus grand carré pair contenu dans N 
et D l'excès de N sur (25); dans ce cas, pour avoir 
la valeur de 
N Eva, 
cherchons l'expression du terme complémentaire qu'il 
faut ajouter au second membre de la form. (23). Dans 
ce but examinons préalablement toute la tranche qui 
suit le nombre (2p)?, composée de 2 (25 + 1) termes, 
à partir de (2u.) + 2 jusqu'au dernier (2y. + 2) in- 
clusivement; partageons cette tranche en deux demi- 
tranches, dont chacune contiendra 2p + 1 termes; 
voici ces deux demi-tranches, composées des nombres 
pairs qui forment la continuation de la seconde des 
séries (20): 
. (Au)? + 2h, er. (2p+1)?+1 | 
.(29.4-1)?2-212-1, . . . (244-2). 
Qu} +2, (2p? +4,... 
(2u+1)-+3, (2u+1)+5,.. 
| (24) 
Après ce qui a été dit plus haut concernant la 
somme 3'EVu, joint aux indications (24), il sera très 
facile de trouver les expressions S,, S, et S, des trois 
termes complémentaires, relatifs aux trois cas qui peu- 
vent se présenter. 
1% Cas. Le nombre donné N, supérieur à (2p), 
peut être inférieur au dernier terme (2p + 1} + 1 
de la première demi-tranche (24); on aura alors 
N = (Qu) + 2h, doù h = SE 
+ 1. Or, comme À indique le 
nombre des termes que l’on considère dans la première 
demi-tranche (24), et que EV er E  Zp- on 
obtiendra 
= 24h = p (N—(29))...... (25) 
2*" Cas. Le nombre N peut être égal au dernier 
terme (24 + 1) + 1 de la première demi-tranche; 
dans ce cas le terme complémentaire se rapportera à 
cette demi-tranche entiere. Pour pi son expression, 
il suffira de substituer (2p. + 1) — 1 à N dans la 
form. (25) et d'ajouter 2p + 1 au mii de sorte 
que, toute réduction faite, on aura 
= (Qu) + 2p + 1.. . (26) 
3*"* Cas. C'est celui où N est supérieur à (2p+1j'+1 
et, en même temps, inférieur à (Our 2). Dans ce cas - 
le terme complémentaire sera composé de deux par- 
ties: 1°) de la somme totale (26) de la première demi- 
tranche, et 2°) d’une partie de la somme relative à 
la seconde demi-tranche; or, comme | a 
Hadry tai d'où 155 Y, 
et que EV (2g. + 1) + 21 + 1 = 2p +- 1 pour les 
valeurs de 1 inférieures à 2y.+- 1, cette seconde partie 
aura pour expression 
(Qu + 1)! — (p. (N, 
et par conséquent 
S, = (29) + (2p + IECH, (27) 
Remarquons en passant que la somme Z EV u, re- 
lative à la seconde demi-tranche entière, est égale 
au dernier terme (Dn + 1)+- 1 de la première demi- 
tranche. 
Voici quelques applications numériques des pe 
mules précédentes. 
Soit N = 100; on aura — = 5, et la for- 
mule (23) donnera 
Par la form. (22) on trouve 
9 
SN EVu = 310; 
` S 
