et par suite 
mation des puissances successives des termes de la 
=  XEYu entre les limites 1 et N= (n+ 1)" — 1. En 
Hs . construisant une table, analogue à celles que nous 
= _ avons formées pour les cas de m—2 et m — 3, on 
Bulletin de l’Académie Impériale 
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de lá il résulte d’abord qu’on aura 
N N—1 
$9 R € uu 
DEVu = 2 N EV, 
1 1 
X Evu = (I) | 
N ea = (Sevi) 
Exemples. Déterminer les sommes 
-(30) 
63 64 
2 EVu et Ka 
Comme V 64 =4= n+l, n= 3, on aura par 
la form. (29) 
64 
Mya = “E 4 — 160, 
1 . 
et par conséquent (form. (30)) 
63 
N Evu = 1060— 2) = 79, 
: | 
64 
>> Eyu = 3(160 + 2) = 81. 
, 
2 
Après ce qui a été exposé plus haut concernant les 
questions qui se rapportent aux radicaux du 2* et du 
3%" degrés, il sera très facile d'étendre notre procédé 
à la résolution des questions analogues, relatives à la 
fonction ZEV u, l'entier m étant quelconque: leur ré- 
solution, en dernière analyse, n’éxigera que la som- 
série des nombres naturels jusqu'à la puissance m-ieme 
inclusivement. Nous nous bornerons ici à l'indication 
de l'opération sommatoire qu'il s'agira d'effectuer pour 
trouver l'expression de la somme cherchée. 
Nous commencerons par donner l'expression de 
sion (31). 
— —m 
obtiendra pour la valeur n de EVu les résultats. 
suivants: | 
Nombre de termes =..... = ((n +1)" — n") 
Somme partielle —....... = n ((n + 1)" — n") 
Total des sommes partielles — E [n (n 4- 1)" —4" 
1 j 
Ainsi, dans le cas que l'on considére, on aura 
N " n ^ 
X EVu = Y [n (n a- 1" —n")).. (81) 
1 1 p 
n étant égal à VN +1 — 1. 
Cherchons maintenant l'expression du terme com- 
plémentaire qu'il faut ajouter à (31) lorsque N n'est. 
pas de la forme (n + 1)" — 1; on supposera alors, 
conformément à ce qui a été fait plus haut, 
N = (n= 1)" — 1 +K, 
(n+-1)" étant la plus grande m-ième puissance entière | 
contenue dans N, et K l'excés de N sur Dr zb 
on aura done S 
Nn1)"—41 et N « (n4- 2^ —1. 3 
Il est visible que K = N + 1 — (n= 1)" sera égal. 
k. 
" 
. [au nombre des valeurs que peut recevoir N à partir. 
de (n + 1)" jusqu'à (n A. 2)"— 2 inclusivement. Cela 
étant, comme l'on a $5 
Ey (n-- 1)" —1 +K = n=l, E 
le terme complémentaire sera égal à ce dernier nombre 
n= 1 répété K fois; donc, finalement, deg ege. 
du terme cherché sera Se 
(n a- 1) (N TEEN KE 
504 
Nous terminerons par la remarque que les formules, E 
auquelles donne lieu la détermination de ZEV KEN 
étant un entier-quelconque, peuvent être obtenues n ; 
pa H e j EU 
la méthode des coëfficiens indéterminés, Vea 
de ce qui a été indiqué, dans notre 1^ Article de e 
Opuscule; Vapplication de cette méthode au Sg, don S 
il s’agit est justifiée par la forme même de 1 exp 
1 Novembre 1883. 
