251 des Sciences de Saint- Pétersbourg. 282 
Z. 510. Aus der Ausdrucksweise WebEr's im Nach- 
trage muss man schliessen, dass er noch immer an die 
Möglichkeit seiner Auffassung von Az glaubt. 
Sur le contact des figures inverses avec les figures 
polaires réciproques des figures directrices. Par 
J.-S. et M.-N. Vanecek. (Lu le 18 octobre 1883.) 
La transformation d'une figure géométrique, que 
nous avons exposée dans les comptes rendus de !’ Aca- 
démie des Sciences, s'exécute au moyen d'une courbe 
ou d’une surface fondamentale du second ordre. 
Nous avons appelé les points ou la courbe d’inter- 
section des figures directrices avec la figure fondamen- 
tale les points fondamentaux ou la courbe fondamen- 
tale, par lesquels passe la figure dérivée. 
La courbe ou la surface dérivée est en une relation 
remarquable avec les figures polaires réciproques des 
figures directrices. Dans la note présente nous vou- 
lons discuter ces relations. 
I. 
1. Considérons une courbe L d'ordre 1 qui doit 
être transformée par rapport à une courbe M d'ordre 
m et à une conique fondamentale F, toutes ces cour- 
bes se trouvant sur le méme plan. 
Lorsque le sommet l, du triangle polaire (Ji, par- 
court la courbe primitive L, sa droite polaire Li, en- 
veloppe la courbe Z’ polaire réciproque de L et con- 
tient toujours le points 7, qui décrit la courbe inverse 
$ HU 
(Ll) de L par rapport à la courbe directrice M. Le 
point Z, peut devenir le point de contact de la droite 
Ll, avec L'. Cherchons le nombre de telles positions 
singulières du points /;. 
Quand le point Z, se trouve sur L' son côté opposé 
du triangle LL touche la courbe L au point 4. Le 
point 7, satisfait donc à la condition d’être le point 
d'intersection de la tangente 7,7, au point /, à la courbe 
L et de la droite polaire LL du point Z. Le lieu du 
du point l, est une courbe C, dont l'ordre nous allons 
déterminer. 
La courbe L étant de frz ordre et de la Are: classe, 
.sa courbe polaire est de la frz classe. Les droites 
Si ou 17, forment alors un faisceau d'ordre À projec- 
tif au faisceau des droites à, ou LL d'ordre l. Le 
lieu des points l, est donc une courbe d'ordre (l 4- à). 
Le sommet l, doit parcourir la courbe directrice M 
qui est d'ordre m. Les positions singulières du point 
l, correspondent aux points d’intersection des courbes 
C et M. Le nombre des points en lesquels la courbe 
inverse (l,) touche la courbe L', est alores m (l -+ à). 
Nous trouverons les points de contact de la courbe 
(l) avec la courbe polaire réciproque M' de la ligne 
M par le même raisonnement que nous avons indiqué 
tout à l'heure. Le nombre de ces points de contact 
est (Gm + p). 
Quand lune des courbes L, M devient une 
droite, la courbe auxiliaire correspondant est cette 
droite et la courbe inverse passe par son póle, dont la 
multiplicité correspond au nombre des points d'inter- 
section de cette droite avec l'autre courbe donnée. 
Le cas le plus simple se présente quand les courbes 
L, M sont des droites. La courbe inverse est une 
conique qui passe par les póles de ces droites. 
Si la courbe fondamentale est une circonférence et 
la droite M est'à l'infini, le centre de la transforma- 
tion par rayons vecteurs réciproques est un point mul- 
tiple d'ordre 1 de la courbe dérivée, la courbe L étant 
d'ordre / 
Nous sommes parvenu à ces derniers résultats 
dans les notes citées, par une voie toute différente. 
3. Quand le triangle lll, se trouve dans la posi- 
tion singulière que son sommet 7, est situé sur la courbe 
L', tous ses côtés LA. lala, 1, 1, sont tangents respec- 
tivement à la courbe L au point l, à la courbe Z/ au 
point 4, et à la courbe M' polaire réciproque de la 
ligne M. 
Pendant le mouvement du triangle /,//, le sommet | 
1, décrit une courbe (l) d'ordre 22m et son côté opposé 
Li, enveloppe une courbe (%,) de la classe 2lm. Cette 
courbe touche la ligne primitive Z au point /, qui cor- 
respond à la position singulière du triangle Li, De. 
là suit que la courbe (4, polaire réciproque de la 
courbe transformée touche la courbe primitive aux 
am (A) points, comme nous kavon trouvé pour les 
courbes (Z,) et I. 
Nous pouvons don énoncer ces théorèmes: | 
La courbe (1,) dérivée de la courbe L d'ordre l et de 
la classe 3 par rapport à la courbe M d'ordre m et de 
la classe y. touche la courbe L' polaire dat de la 
