283 Bulletin de l'Académie Impériale 
e courbe L en m(1=») et la courbe M polaire réciproque 
| de M en l(m--y) points. 
Et réciproquement: 
La courbe (V) polaire réciproque de la courbe dérivée 
| (l) touche la courbe L en m (l3-») et la courbe M en 
0 Im) points. 
4. La courbe auxiliaire C, étant construite elle coupe 
la courbe M en m(l--}) deines c. Quand nous voulons 
trouver les points de contact de la courbe (l,) avec la 
ligne Z/ et de la courbe (A,) avec L, qui correspon- 
dent à un point c, nous n’avons besoin que de tracer 
sa droite polaire qui coupe les courbes L, L respecti- 
vement en } et ¿(1—1) points dont nous allons choisir 
ceux, par lesquels nous pouvons tracer les tangentes 
à ces courbes du point c. Les points ainsi déterminés 
sont les points demandés. 
m II. 
5. Considérons une courbe gauche L d'ordre 7 qui 
| doit être transformée par rapport à une courbe M 
d'ordre m, à une surface générale P d'ordre p et en- 
fin à une surface fondamentale F du second ordre. 
- La courbe transformée (7,) est, comme on sait, d'ordre 
_4lmp et touche les surfaces polaires réciproques L’, 
M' des courbes Z, M en les points dont le nombre 
nous allons déterminer. 
6. Déterminons d'abord les points de contact de la 
courbe (L) avec la surface Z/. 
Afin que le point 7, soit le point de contact de la 
courbe (/,) avec la mitike L' il faut que le plan 22], 
touche la-courbe L au point /,.. Nous pouvons deer- 
Ee . miner une telle position singulière du plan lll, en 
construisant une courbe auxiliaire (x) par le Des 
i suivant. 
Le plan polaire A, d'un point /, de la courbe L ren- 
contre là courbe M en les points l, 1. 2” ues de 
point 7, détermine avec la droite tangente L, au point 
l à la courbe Z, un plan dans lequel se trouvent deux 
sommets conjugués LJ. du triangle polaire Lx dont 
le troisième sommet x il faut déterminer. Ce point x 
engendre une courbe (x) quand le point 7, parcourt la 
courbe L. 
. Les points de rencontre de la courbe (x) avec la 
; surface P offrent de telles positions singulières. du 
iem ca ces points sur P étant les sommets 7, du 
èdre polaire mobile. 
sel 
une surface conique de la classe A. Un plan tangent 
| points qui fournissent les plans passant p le point e 
Nous déterminons l’ordre de la courbe (z) en Ge 
vant le nombre des points de rencontre de cette courbe 
avec la surface fondamentale. : 
La courbe primitive L rencontre la surface fonda- - 
mentale P en 27 points 4. Le plan polaire à, d'un 
tel point fondamental /, est le plan tangent en ce point | : 
à F et rencontre la Dubé M en des points }. Le - 
troisieme sommet /, du triangle polaire LL, vient 1 
d'étre placé au Pott l. De là suit que les points fon- « 
damentaux de la courbe L appartiennent à la courbe E 
auxiliaire (x). : 
Il y en a 2/; ces points sont multiples d'ordre m. 
sur (x). Nous avons ainsi obtenus 2/» points de la. 
courbe (z) sur P. Par une voie semblable à celle que 
nous avons suivi tout à l'heure nous trouvons 2/m. 
autres points sur F qui se trouvent aux points fonda- 
mentaux de la courbe M. 
Le reste des points de la courbe (x) situés sur: F 
nous trouvons ainsi. 
Le point /, de la courbe M détermine avec la droite 
tangente T au point conjugué 7, à la courbe L un plan. 
qui enveloppe une surface döreloppähle (LT). Les 
plans tangents communs à cette surface et à la surfac 
fondamentale touchent la surface F aux points qui. 
appartiennent aussi à la courbe (x). La'classe de la 
dite surface développable est m(1+1A), quand nous 
désignons par À la classe de la courbe L. Cela ré 
de ce raisonnement. 
Un point quelconque c dans l'espace, qui n'est pas | 
situé sur la courbe L, détermine avec cette courbe | 
quelconque 7, de la surface (cL) touche la courbe L 
en un point /, dont le plan polaire ^, rencontre le plan. 
tangent T, en une droite T,. Le lied des droites T,- 
est une WS (T;') qui rencontre la courbe M en Je : 
et tangents à la surface développable (l, E 
Nous trouvons l'ordre de la surface CH au moyen ` 
d'une droite D passant par le point c. Par cette droite | 
passe % plans tangents à la surface conique (CL), awx- ` 
quels correspondent % points 7, de contact sur L. Leurs - 
plans polaires A, rencontrent D en A points. Parce 
que par le point c passent / plans de la surface Le 
point est done multiple d'ordre 7. L'ordre ee SCH ge? 
face (T") est par conséquent égal à pais 
De là suit que la courbe (x) a 
