5%, 
285 des Sciences de rés. 2*6 
2m(31+-à) 
points communs avec la surface fondamentale ou qu’elle 
est d’ordre 
m (30 + à). 
La courbe (x) rencontre la surface P en p (304-2) 
points qui correspondent aux positions demandées du 
plan LI, 
7. Par un procédé semblable à ce que nous avons 
suivi quant à la courbe Z, nous trouvons que la courbe 
dérivée (1,) touche la surface M” en 
lp (3m + y.) 
points, quand y. signifie la classe de la courbe M. 
8. La courbe (/,) touche la surface P’ polaire réci- 
proque de la surface générale P quand elle a avec P’ 
deux points infiniment voisins, ce qui exige que deux 
plans LL, TJ infiniment voisins touchent la surface 
P en des points de même infiniment voisins de la 
courbe d’intersection de la surface (A,A,) avec 
D'un point /, de la courbe Z faisons passer une 
surface conique circonscrite à la surface P. Ces deux 
surfaces se touchent suivant une courbe (x). Le plan 
polaire à, du point /, rencontre (x) en des points qui 
sont les points conjugués au point /, et se trouvant 
sur les plans tangents à P et passant par le points /,. 
Ces plans tangents sont les faces LJ. des tétraèdres 
polaires. Déterminons les troisièmes sommets /, des 
triangles polaires situés sur ces faces. Quand le point 
1, parcourt la courbe L les points 7, engendrent une 
courbe (l) qui, étant une courbe gauche, ne rencontre 
pas, en général, la courbe M, ce qui prouve que la 
courbe (l) ne touche pas, en général, la surface P. 
9. En réunissant les résultats obtenus nous pouvons 
énoncer ce théoréme: 
La courbe (l) transformée d'une courbe L d'ordre 1 
et de la classe % par rapport à une autre courbe M 
d'ordre m et de la classe y. et enfin par rapport à une 
surface P d'ordre p touche la surface L' polaire réci- 
proque de L par rapport à la surface fondamentale F en 
mp(304-3) ` 
et la surface M' polaire réciproque de la courbe M en 
| dp(3m + y) 
_ points, et ne touche pas, en général, la surface polaire 
P' de la surface P. 
10. Une surface L d'ordre 1 se transforme par 
| rapport à une surface fondamentale F, à une courbe 
M d'ordre m et à une surface P d'ordre p en une sur- 
face (1,) d'ordre Almp. 
Cherchons les points en lesquels la surface (4). 
touche la surface polaire 7" de P par rapport à F. 
Afin que la surface (l) touche P en un point 7, il 
faut que le plan 41], ou à, touche la surface P au 
point /,. 
Supposons que un tel plan tangent A, à P soit 
mené. Le plan polaire A, du point l, de contact ren- 
contre à, en une droite G-A.) qui perce la surface L 
en 1 points d qui sont les conjugués du point l, par ` 
rapport à F. Le troisième sommet /, du triangle po- 
laire 1,22, est ainsi déterminé. Quand le point l, par- 
court, la sarhos P, le point /, engendre une surface 
(l,) qui rencontre la courbe M en les points détermi- 
nant les points demandés l, sur P ou l, sur P’. Le 
nombre de ces points dere de l’ordre de la surface 
(L), ce que nous allons déterminer au moyen de la 
courbe d'intersection de la surface (2,) avec la surface 
fondamentale F. 
Nous disons que la courbe P d'intersection des 
surfaces F, P est une courbe multiple d'ordre / de la 
surface UA 
Que la courbe P appartient à la surface (4,) suit de 
lá que la dite droite (4,A,) passe par le point 4, si- 
tué sur F, et par conséquent le troisième point con- 
jugué 7, se confond avec ly. La droite (2,2) rencontre 
Leni points l; le point l, est donc un point multiple 
d'ordre } sur (1). 
La courbe d’intersection L des surfaces F, L est, : 
une ligne multiple d'ordre +’ de la surface (OK? 
étant l'ordre de la courbe de contact de la surface co- 
nique circonscrite à la surface P d’un point quelconque 
dans l'espace. Dans ce cas les points l, corres 
aux points l, sur Z et aux pd l, se confondent Avec. di 
les points * 
Il peut arriver que aucun des points 7, 7, se trouve — ; 
sur F et que le point L peut être EE situé sur 
cette surface, ce qui arrive quand le pu A touche à 
| la fois les surfaces F, P. —— FE 
Un tel plan enveloppe la surface circonscrite aux, 
surfaces F, P, qui touche la surface F suivant une - 
courbe C d'ordre 2r, -— T ee is * 
