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des Sciences de Saint- Pétersbourg. 
Sur quelques conséquences arithmétiques des formules | plus directe cette méme relation, et aussi d'établir les 
de la théorie des fonctions elliptiques. Par M. Ch, théorèmes (A) et (B) qui sont du plus grand intérêt. 
Hermite. (Lu le 20 décembre 1883.) 
Dans les comptes-rendus de l’Académie de ir 
de 1875 !) M. Kronecker a donné des propositions | 
d'une grande importance que j'ai pour objet d'établir | 
dans cette note, en me plaçant à un point de vue bien 
différent de celui de l'illustre géométre. Posons avec |. 
les notations de l’auteur: 
| 
s (g) = 1— 2q + 29 — 29 +. 
$a (g= 2Vq ac V + IVg” + We 
(9) = 12-29-- 29 +27 +... 
et désignons par F(n) le nombre des classes de formes 
quadratiques de déterminant —n dont un au moins 
des coefficients p est impair, avec la convention 
d'écrire F (n) — 1 au lieu de F (n), ers n est un 
carré. Les théorèmes dont je vais m "occuper, consis- 
tent dans les relations suivantes 
¿Y Fn Ta => 0% (0: --- A) 
AN Fn A. 1)g*5 — 5,()5 (0)... (D) 
sÑ Fens) = SPO. O 
qui révèlent une liaison étroite entre la théorie arith- 
métique des formes quadratiques et la théorie analy- 
tique des transcendantes elliptiques. Deux voies s’of- 
frent pour conduire à ces beaux résultats, l’une qui 
les a fait découvrir, est celle de M. Kronecker; elle 
part de la considération des modules singuliers qui 
donnent lieu à la multiplication complexe. Une se- 
conde que j’ai indiquée succinctement dans une lettre 
adressée à M. Liouville?), repose plus sur l'analyse | 
que sur l'arithmétique, la notion de classe s'y trouvant 
amenée par la considération des formes réduites. Elle 
m'a donné déjà la démonstration de l'équation (C); 
je me propose maintenant em tirer d'une manière 
1) Über quadratische Ferien von negativer Débbhinaute, p. 223 
2) Sur la théorie des fonctions elliptiques et ses applications al 
l'arithmétique. Journal de M. Liouville, année 1862, p. 25. 
Tome XXIX Sr 
J’exposerai ensuite comme conséquence de cette mé- 
3F (4n +- 2), 
Sra» +1), SF (8n + 3), ou l’on verra pue nouvelle 
thode, quelques expressions des sommes 
0 
application de la fonction £ (2), représentant l’entier 
contenu dans z, qui a été récemment l'objet de plu- 
sieurs cominiidicafions importantes de M. Bounia- 
kowsky. 
I. La représentation des différentes classes de formes 
de déterminant négatif, d'obtient par des formes 
particulières auxquelles on donne le nom de ré- 
duites, et qui sont caractérisées de la manière 
suivante. 
Désignons les par (4, B, C), et soit e une quantité 
du signe de B, et égale en valeur absolue á l'unité; 
on aura les Conditions: ; 
A =<.C, Set 
De plus faisons pour plus de précision la distinction - 
entre les formes non ambigues et les formes ambigues. 
Les premières seront: (4, + B, C), en supposant B 
positif, diffèrent de zéro; nous exclurons ensuite les 
cas d'égalité dans les conditions précédentes qui de- 
viennent: 
A U, 2B « À. 
Les autres seront de ces trois espéces: 
(4, 0, C) A « C, 
(2B, B, C) 2B & G 
UL D/A) 2B < A, 
et c'est seulement quand le déterminant changé de 
8. NS 
signe est un carré ou le triple d'un carré, qu'on à doit ee, 
prendre: ù Murs 
A = C, ou bien 2B = =0, 2B = A. 
Cette notion des formes réduites doit recevoir une Ve 
modification légère en vue des recherches qui vont ` 
suivre, Où nous considérerons exclusivement les formes 
dans lesquelles l’un au moins des coefficients extrêmes | 
est impair ?). + 
3) Ce sera pe TE € proprement primitif et ses dé- 
rivés lorsque le le doub 
e déterminant sera le d'un nombre ` 
impair, geo cas Ve s'offrent dans les théorèmes de m Kronecker. | 
