Bulletin de l'Académie Impériale 
Convenons de désigner par a, a, a, des nombres 
impairs, par b, b, des nombres pairs; elles se répar- 
tiront pour un déterminant impair, dans ces trois 
catégories: 
I (a, b, a), 
II (a, a; b), TH (5, a, a), 
et pour un déterminant pair dans les suivantes: 
I (a, d5 d’), I (a,b), II QU a. 
Supposons RR ces formes réduites et ad- 
mettons que les coefficients moyens soient positifs; 
je les ramenerai, comme on va voir, au premier type. 
En raisonnant, pour fixer les idées dans le premier 
cas, j'effectue la substitution au déterminant — 1, 
| zent yr 
- dans la forme II. Elle devient: 
(à, a— a! a—2a +)) 
` et par conséquent du type I, mais le coefficient moyen 
- qui reste positif, franchit la limite caractéristique des 
a réduites. -Il est en effet l’un des termes de la suite: 
=. ` a—k, 4—k+2, a—k+ 4. ..a— l, 
ùk désigne le plus grand nombre impair contenu 
. dans $- Toutefois le dernier coefficient ne cesse pas 
de Sep à la condition: a — 24 + b > a, puis- 
_ qu'on doit supposer: 2a’ < b. Le même résultat s’ob- 
S tenant à l'égard de la forme III, qui est improprement 
équivalente à (a, a; D et par suite proprement équi- 
. valente à: (a, a—a, à — 2a -- b), nous avons cette 
. conclusion, que toutes les classes de déterminant im- 
pair, sont représentées par les formes du type I, 
(4, + B, 4) où Pon supposera: B — 0, 2, 4,... 
S A—1, et: À < 4, Quant aux formes ambigués, 
+ deux cas sont à | distinguer, suivant que le détermi- 
nant est =1, ou 3 Mod. 4. Dans le premier il n'existe 
que la seule espèce (A, 0, 4), A n'étant jamais égal 
à A: mais dans le second cas, les formes ambigues 
E 2,4,... A— 1. 
On établira de la méme maniére, en ‘considérant 
| puis: 
sont d'une part: (4, 0, 4) avec la condition 4 < À; | 
se ramènent au premier type: (4, E Æ D H 
doit supposer 
A" = 1,3, 5. 
. A—2, et: AL 4; 
les formes ambigues sont ensuite: : 
(A, A, A'), avec l'inégalité: À < ds 
(A, 4) À), en prenant encore: 
4A —1,8,0,... 4208 
Cette seconde catégorie ne se présente d'ailleurs le 
lorsque le déterminant supposé pair est divisible pi 
Nous avons exelu dans ce qui précède, les fo 
l’ordre improprement primitif, et des dérivées 
ordre, nous ajouterons à leur égard, pour les dé 
nants = 5 Mod. 8, la remarque suivante. Ces 
pour de tels déterminants, sont du type (2, a, 2 
conditions: 
Vi 
a <a, a € q. 
Ke maintenant que le coefficient moye EI 
l’un des termes de la suite: ; 
el, 8,5, Mët 
Les formes obtenues en prenant: 
" 
a = 4+2, 264, 63% 
ne seront plus réduites et elles s'y raméneront. p 
substitution précédemment employée: ; 
= X--EY, 
En effet dans la transformée obtenue: 
(2a, 2a— a7 2a—2a"--2a) - 
les conditions caractéristiques: 
2a— à "za, 2a—a <a = 
sont satisfaites, painu elles reviennent d cel 
a<a a « à. 
Toutefois il sera nécessaire, We on aura 
mi a Se ps que. les. formes non Gigi 
nes en outre la substitution d 
Soit maintennant : : 
