des Sciences de Saint - Pétersbourg. 
a" = a+b, a = a+b, 
faisons aussi: 
a—b = a; 
la transformée précédente devient: 
(2a,+ 2b, a, 
: 2a, + 2b), 
les nouveaux éléments a,, b, b; étant entièrement ar- 
bitraires. On voit ainsi que cette forme donne deux 
fois la série complète des réduites, à savoir les ré- 
duites elles-mêmes, si l'on prend 5 >b, puis leurs 
transformées par la substitution X= Y; Y — X; quand 
on suppose b' < b. Nous avons donc le résultat sui- 
vant dont nous ferons bientót usage. Concevons que 
a, à, a, parcourent la série des nombres impairs sous 
la condition: ; 
64 a < 2a; 
la forme: (2a, a; 2a’) représentera d’une part, les 
formes ambigues, (2a, a, 2a’), puis. celles-ci: (2a, a; 2a), 
qui se ramènent à: (2a, 2a — a; 2a); c'est par con- 
séquent le suite complète et sans répétition des formes 
ambigues. Il y a à exceptér toutefois la supposition 
de a — a; c'est-à-dire la forme dérivée de (2, 1, 2), qui |: 
s'offre seulement lorsque N est le triple d'un carré. 
Elle représentera en second lieu, et répétée trois fois, 
la série des formes non ambigues, équivalentes pro- 
prement ou improprement aux formes réduites dont 
le coefficient moyen est positif. 
II. Le théorème (A) de M. Kronecker qui con- 
siste dans l'égalité: 
^in ++ = 
s'obtient au moyen de ces séries, oü js pour | ' 
abréger: | 
Se Sa SC au lieu de 5,(9), >, (9), 5: 
RR 
RE 
* 1%) 
REX M in (On + DS, 
sin ix 
de S er la rn (2n +1) 2. | 
pouvons écrire: 
. |on voit aussi qu'on doit faire: 
La premiére est le développement de = sin = 
la seconde que j'ai donnée sans démonstration *), a été 
établie ainsi que d'autres de même nature dont je ferai 
usage, dans une excellente thèse de doctorat de M. 
Biehler °), à laquelle je renvoie, Multiplions les 
membre à membre, puis intégrons entre les limites 
zéro et 7 , en employant les formules: 
©, (=) dx = e 
D 0 
hb 
E 
sin (2n + 1)æ e NR 
Az dg 
On trouvera ainsi: 
SIS = 48-- 88, 
si l'on pose pour abréger: 
IS = > ee 
2n +1 
0 
ferien. 
s= TT e") + bo, gun) 
1— 
1 
Je développe maintenant ces expressions suivant 
les puissances de q en remplacant par 
GET Sen A. 
1 zg + 
1.34 q in Fi 
.., et j'obtiens d'abord: 
Sg = > gran”, | 
où a et a’ parcourent la série entière des weit | = 
impairs. Soit ensuite: 
d'=1;3,:5,,..0—1, 
et l’on aura: / 
8, — D, ginis — e) 
Désignant done par N un nombre impair quel- ; 
conque, et par 9 (N), le nombre de ses m ww 
Us y van. 
á* 4- 2aà! — a? NN 
4) Sur les théorèmes de M. ns relatifs aux u 
quadratiques er tm juillet 
— 5) Sur les développements en séries 
ee ^ troiniènie espèce, paris, daten 1879. 
