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Bulletin de l’Académie Impériale 
de sorte que 2N est le déterminant changé de signe 
de la forme quadratique (a, a, a+ 2a). Cela étant, 
nous établissons que nous avons ainsi obtenu le type 
de nos nouvelles réduites pour un déterminant im- 
pairement pair, représenté par (4, A, 4”), en montrant 
que la différence A — A est nécessairement le double 
Ge d'un nombre impair. Or on a: 
AA — A" = 2N, 
et par conséquent : 
AA = 3 
En multipliant par le nombre impair A; nous en 
conclurons: — 
Mod. 4. 
A = EM Mod. 4 
d'où: | un 
A—A'=24' . Moi, å 
comme il fallait l'établir. Soit donc pour un moment: 
. f(2N) le nombre des classes non ambigues de déter- 
 minant — 2N; il est clair qu'on obtient, puisqu ’on 
. exclut les valeurs négatives de A”: 
| S, — KEEN 
| = et le developpement de $ d N be sous la forme 
suivante: SC 
OE IK [s Q9) Nu" 
E Mais le nombre des classes ambigues de détermi- 
nant — 2N étant o (N), la somme o(N)+f(2N), est 
précisément la fonction F (2N) de M. Kronecker, 
.. dont la proposition se trouve ainsi démontrée. 
HL: Le second théorème de caia géomètre se 
tire des séries suivantes : 
or. 
meS 
e EES 
1 qg” +1 
s rures 
A BE) - 
a, ACA) Le 
"semp. 
= La, 2de + pm 4- 2q—1 -, .+ 2g] sin(2n+1)x. 
sin (2n + 1)z 
re les 1 limites ER et > on en déduit cette ex- 
En les multipliant Nette à membre, et intégrant | 
3,357 = 28-+-48,, 
ou l’on a: 
S = 2, qe +3) [1 + 2q— E ce 
=> : 
Cela posé, désignons encore par a un nombre 
pair quelconque, et soit b— 0, +2, +4.. EZ 
la première série prend cette nouvelle forme: 
(n+ D? + 2n4- 1 
IDE ms 
S — gie 
et l'on en conclut facilement: 
Olai, 
N parcourant la série des entiers Se = | E. 
Soit en effet: 
PEERS, 
mmm 
a—b — 55 
ò et A étant deux diviseurs conjugués de N; 
nécessairement à = à Mod. 4, et les deux sys 
d'égalités: ET 
a+b=5, | a—b — 3 
ou bien: 
S y 
a—b O, a+rb= 
donneront toujours pour a un nombre impair, et 
b un nombre pair, qui change de signe en p: ^ 
l'un à l'autre; le cas où N est un carré corres 
à0—=0. : 
La quantité S, développée suivant les P sane 
q, donne ensuite: . 
= N git + tac — V) 
pen 
où l’on doit faire: 
o5... 
I Ed) ccs SR 
2.8.0.5 
o ^ m9 
ll 
Soit maintenant: 
+ 4ac — = N; | 
on voit que N sera = 1 Mod. 4, et re e 
terminant changé de signe de la forme (a : 
